Технические науки/10.Горное дело

К.т.н., Каражанов А.А.

Таразский государственный университет имени М.Х.Дулати,

Республика Казахстан

Разработка квадратичного преобразования с вертикальной осью симметрии применительно к конструированию поверхности туннеля

Одним из основных направлений исследования начертательной геометрии является развитие теории геометрических преобразований с целью применения в решении научных и технических задач, связанных сложными геометрическими формами.

В шахтном строительстве часто применяется каналовые поверхности сводчатой формы. Сводчатая форма более благоприятна с точки зрения ее устойчивости, рационального использования крепи, ее несущей способности и перераспределения воспринимающих ею нагрузок. При проектировании горизонтальных выработок возникает вопрос геометрического конструирования поверхности сводов. На практике используются, в основном, составные своды из дуг кривых 2-го порядка или сплайны, что усложняют решения конструкторских и технологических задач.

Для формообразования криволинейных поверхностей подземных выработок можно использовать геометрические преобразования, в частности (2-2)-значные преобразования, что позволяет моделировать сложные поверхности по наперед заданным геометрическим параметрам и автоматизировать процесс их проектирования.

В данной статье излагаются основы теории (2-2)-значного преобразования (Г₂) с вертикальной осью симметрии, порождаемого отображениями однополостного гиперболоида.

Сущность получения (2-2)-значного преобразования Г₂ с вертикальной осью симметрии заключается в следующем:

1) В трехмерном пространстве задается однополостный гиперболоид Р₂ с осью Оy (рисунок 1), при этом плоскости xОy≡x'Оy' (П₂≡П₂');

2) На заданной поверхности отмечаем произвольную точку М₁°, которую ортогонально проецируем на плоскость П₂. Получим точку М (рисунок 2). Следует отметить, что на поверхности Р₂ расположена еще одна точка М₂°, которая проецируется в точку М (рисунок 2). Окружность получена пересечением поверхности Р₂ и плоскости ;

3) Поверхность Р₂ подвергаем преобразованию β₁, которое вращает поверхность Р₂ на 90° относительно оси Оy так, чтобы положительное направление оси Оz совпадало с положительным направлением оси Оx. Получим новую поверхность Р₂'. Тогда точки М₁° и М₂° занимают новые положения и они обозначены символами М₁₁° и М₂₁°.

Точки М₁₁° и М₂₁° ортогонально проецировав на плоскость П₂', получим точки М₁ и М₂ (рисунки 3, 4). является горизонтальным следом плоскости . Таким образом, точке-прообразу М плоскости П₂ соответствуют две точки М₁ и М₂ плоскости П₂'≡П₂ (рисунок 4). Другими словами на плоскости П₂≡П₂' устанавливается (1-2)-значное преобразование Г₂.

Если точку М₁ или М₂ подвергать обратному преобразованию Г'₂, то получим две точки М₃ и М₄, одна из которых инцидентна точке М. Поэтому в дальнейшем Г₂ будем называть (2-2)-значным преобразованием на совмещенной плоскости П₂≡П₂'.

Рисунок 1 – Поверхность Р₂

Рисунок 2 – Построение точки М

Рисунок 3–Построение точек М₁ и М₂

Рисунок 4–Изображение точек М, М₁, М₂

Определены уравнения (2-2)-значного геометрического преобразования Г₂ в виде:

, (1)

, (2)

где x, y – координаты прообраза;

x',y' – координаты образа;

R – параметр преобразования.

Определена графическая модель (2-2)-значного геометрического преобразования Г₂ в следующей последовательности:

1) первое уравнение системы (1) преобразует точку М(х,у) на две точки М₁ и М₂ с абсциссами:

. (3)

. (4)

Уравнения (3) и (4) показывают, что точки М₁ и М₂ симметричны относительно оси Оy. Второе уравнение системы (1) показывает, что точки М, М₁ и М₂ лежат на горизонтальной линии;

2) значение графически определяется следующим образом:

2.1) х и у заданные координаты точки М, то есть известные величины;

x' – искомая величина;

2.2) обозначим сумму R²+y² в виде:

R² + y² = b² . (5)

2.3) выражению (5) соответствует на чертеже прямоугольный треугольник О12 (рисунок 5), где катет О1 равен R, катет 12 равен y; гипотенуза О2 равен b. Для построения прямоугольного треугольника О12: из точки 1 проводим вертикальную прямую и из точки М проводим горизонтальную прямую, которые пересекаются в точке 2;

2.4) учитывая выражение (5), перепишем первое уравнение системы (1) в виде:

x'² + x² = b² . (6)

2.5) выражению (6) соответствует на чертеже прямоугольный треугольник О45 (рисунок 5), где: катет О4 равен x, гипотенуза О5 равен b, катет 45 равен искомой величине x'. Для построения прямоугольного треугольника О45: точку 3 вращаем до точки 4 центром в точке О. Из точки 4 проводим горизонтальную прямую и точку 2 вращаем центром в точке О, которые пересекаются в точке 5;

2.6) из точки 5 проводим вертикальную прямую и из точки М проводим горизонтальную прямую, которые пересекаются в точке М₁ с координатами (x',у'). Точка М₂ расположена симметрично точке М₁ относительно оси y.

Таким образом, рисунок 5 является графической моделью (2-2)-значного преобразования Г₂ с вертикальной осью симметрии.

Рисунок 5 – Построение графической модели преобразования Г₂

Литература

1. Джапаридзе И.С. Геометрические преобразования пространства и их применения в начертательной геометрии. Методы начертательной геометрии и ее приложения. – М.:1955 – 54-222 с.

2. Ермаков А.В. Кремоновы преобразования пространства в конструировании рациональных каркасных поверхностей: автореф. ...канд.техн.наук: 05.01.01. – М.: МТИПП, 1977 – 17 с.

3. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение, 1985 – 222 с.

4. Котов И.И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. – М.: МАИ, 1975.

5. Манеевич В.А. К теории многозначных точечных соответствий /Труды МИИТ: Вопросы дифференциальной, синтетической прикладной геометрии. – М.: 1965. №190. – с. 158-160.

6. Фролов С.А. Методы преобразования ортогональных проекций. – М.: Машиностроение, 1970 – 160 с.