УДК 517.52/524:517.58/589

 

Делей В.И., М.П.Ленюк

Чернівецький факультет НТУ Харківський політехнічний інститут

 

СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЕЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЭЙЛЕРА-БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТЕ [R0, R2] ПОЛЯРНОЙ ОСИ

 

Методом сравнения решений краевой задачи на сегменте [R0, R2] полярной оси с точкой сопряжения r = R1 Î (R0, R2) для сепаратной системы из дифференциальных уравнений Эйлера и Бесселя, построенного, с одной стороны, методом функций Коши, а, с другой стороны – методом конечного гибридного интегрального преобразования Эйлера-Бесселя просуммирована поли­пара­мет­ри­чес­кая семья функциональных рядов со собственным элементам гибридного  дифференциального оператора Эйлера-Бесселя.

 

Рассмотрим задачу построения ограниченного на множестве I1 = {r : r Î [R0, R1)  (R1, R2); 0 < R0 < R1 < R2 < ¥} решения сепаратной системы дифференциальных уравнений Эйлера и Бесселя

                               , r Î (R0, R1),                              

                              , r Î (R1, R2)                                 (1)

по краевым условиям

             ,                 (2)

и условиям сопряжения

           , j = 1, 2.              (3)

          В равенствах (1) принимают участие дифференциальные операторы:

, , 2aj+1 > 0,

 – дифференциальный оператор Эйлера [1],  – дифференциальный оператор Бесселя [2], n ³ a2 > –1/2.

          Мы предполагаем, что выполнены условия на коэффициенты:  £ 0,  ³ 0,  ³ 0, ³ 0, || +  ¹ 0,  ¹ 0, c11c21 > 0, , j = 1, 2.

          Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ()v = 0 образуют функции v1 =  и v2 =  [1]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя (Bn, aq2)v = 0 образуют функции v1 = In, a(qr) и v2 = Kn, a(qr) [2].

          Наличие фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой задачи (1) – (3) методом функций Коши [1, 3]:

          u1(r) = A1 + B1 + ,

          u2(r) = A2 + B2 + ,               (4)

где Ej(r, r) – функции Коши [1, 3]:

                                 ,

                  , j = 1, 2.                     (5)

          Введем в рассмотрение функции:

,

,

, j = 1, 2,

.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

                         (6)

          Определим функции

, j = 1, 2,

,

, m=1, 2,

.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

           ´

          ´                        (7)

          Обратимся к формулам (4). Краевые условия (1) и условия сопряжения (3) для определения величин Aj и Bj (j = 1, 2) дают неоднородную алгебраическую систему из четырех уравнений:

                ,

                ,

,

                .                                                 (8)

          Здесь принимает участие функция

                     G12 =  

                       .

          Предположим, что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3): для (a) = (a1, a2) и любого ненулевого вектора  = {q1; q2} ¹  определитель алгебраической системы (8)

                     

                            ¹ 0.                              (9)

          Определим главные решения краевой задачи (1) – (3):

1) порожденные краевым условием в точке r = R0 функции Грина

 

],                                                                    (10)

 ;                                      

2) порожденные краевым условием в точке r = R2 функции Грина

,                                       (11)

 

];

3) порожденные неоднородностью условий сопряжения функции Грина

, ,

                                                                                                                         (12)

, ;

4) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния

                (13)

, q = (q1, q2), ,

          В результате однозначной разрешимости алгебраической системы (8) в силу условия (9) и подстановки вычисленных величин Aj, Bj (j = 1, 2) в формулы (4) имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):

uj(r) =  + + +  +

+  + , j = 1, 2. (14)

          Построим теперь решение краевой задачи (1) – (3) методом интегрального преобразования, порожденного на множестве I1 гибридным дифференциальным оператором (ГДО)

                 Mn, (a) = q(rR0)q(R1 r) + q(rR1)q(R2 r).                  (15)

          Так как ГДО самосопряженный и на множестве I1 не имеет особых точек, то его спектр действительный и дискретный [5]. Ему отвечает дискретная вектор-функция.

          Определение. Областью определения ГДО Mn, (a) назовем множество G вектор-функций g(r) = {g1(r); g2(r)} с такими свойствами: 1) вектор-функция f(r) = {[g1(r)]; [g2(r)]} непрерывная на множестве I1; 2) функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжений

             , j = 1, 2;               (16)

3) функции gj(r) удовлетворяют краевым условиям

               , .                (17)

          Собственные элементы (спектр и отвечающую ему спектральную функцию) ГДО Mn, (a) найдем как ненулевое решение системы уравнений

                              , r Î (R0, R1),                             

                             , r Î (R1, R2)                               (18)

по однородным условиям сопряжения (16) и однородным краевым условиям (17), считая, что функция Vn, (a)(r, b) = { Vn, (a); 1(r, b); Vn, (a); 2(r, b)}  Î G; bj = bj(b) = ()1/2,  ³ 0, j = 1, 2. Здесь b – спектральный параметр.

          Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( + b2)v = 0 образуют функции v1 = r acos(b lnr) и v2 = r asin(b lnr) [1]. Фундаментальную систему решений для диф­фе­рен­ци­аль­ного уравнения Бесселя (Bn, a + b2)v = 0 образуют функции v1 = Jn, a(br) и v2 = Nn, a(br) [2].

          Положим

          Vn, (a); 1 (r, b) = A1cos(b1lnr) + B1sin(b1lnr),

          V n, (a); 2(r, b)  =  A2(b2r) + B2(b2r).                                           (19)

          Условия сопряжения (16) и краевые условия (17) для определения величин Aj, Bj (j = 1, 2) дают однородную алгебраическую систему из четырех уравнений:

 = 0,

 = 0, j = 1, 2,

 = 0.                                                            (20)

          В равенствах (20) принимают участие функции:

 

=  ,

 

=  + ,

,

.

          Алгебраическая система (20) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю [4]:

          dn, (a)(b) º  = 0.                           (21)

          Здесь принимают участие функции:

           = , j = 1, 2,

           =.

          Корни bn трансцендентного уравнения (21), будучи собственными числами ГДО Mn, (a), составляют дискретный спектр [5]: действительные, простые, симметричные относительно b = 0 и образуют на полуоси b >  0 монотонно возрастающую последовательность с единственной предельной точкой b = ¥.

          Подставим b = bn в систему (20) и отбросим последнее уравнение в силу линейной зависимости. Предположим, что A1 = A0,
B1 = –A0, где A0 подлежит определению, ,
j = 1, 2. Тогда для определения A2, B2 получаем алгебраическую систему:

             , j = 1, 2.                   

          Отсюда при A0 =  находим, что

A2 = –wn, (a); 2(bn), B2 = wn, (a); 1(bn),

wn, (a); j(bn) = , j = 1, 2.

          Подставив в равенства (19) вычисленные значения Aj, Bj имеем компоненты спектральной вектор-функции Vn, (a)(r, bn):

[

],

.                   (22)

          Следовательно, спектральному спектру  отвечает спектральная функция .

          Согласно с работой [5] имеем утверждения.

          Теорема 1. Система  собственных функций ГДО
M
n, (a) ортогональная на множестве I1 с весовой функцией                                

s(r) = q(rR0)q(R1 r)s1 + q(rR1)q(R2 r) s2 ,

где , s2 = 1, полная и замкнутая. При этом квадрат нормы собственной функции вычисляется по правилу:

                            

             º  + .               (23)

          Теорема 2. Любая функция g(r) Î G представляется абсолютно и равномерно сходящимся на множестве I1  рядом Фурье по системе :

                      .                       (24)

Ряд Фурье (24) определяет прямое Hn, (a) и обратное  конечное гибридное интегральное преобразование, порожденное на множестве I1 ГДО Mn, (a):

                                      

          ,           (25)

                   .                    (26)

          Теорема 3. Если вектор-функция g(r) Î G, удовлетворяет условиям сопряжения (3) и краевым условиям (2), то имеет место основное тождество интегрального преобразования ГДО  Mn, (a):             

+

+  + ,

                   , i = 1, 2.                    (27)    Запишем систему (1) в матричной форме:

                                    .                                      (28)

          Интегральный оператор Hn, (a) согласно правила (25) представим в виде операторной матрицы-строки:

          .    (29)

          Применим по правилу умножения матриц операторную матрицу-строку (29) к системе (28). В силу тождества (27) получаем уравнение:

 =  +

+  +

+ .                                                  (30)

          Мы предполагали, что max{; } = . В этому случае  = 0,  ³ 0 (b1n = bn, b2n = ()1/2). Если бы max{; } = , то мы имели бы:  ³ 0,  = 0 (b1n = ()1/2, b2n = bn). В равенстве (30) вместо () было бы ().

          Из уравнения (30) получаем функцию

           +  +

          + , q2 = max{; }.          (31)

          Оператор  согласно правила (26) как обратный к (29) представим в виде операторной матрицы-столбца:

                        .                     (32)

          Применяя по правилу умножения матриц операторную матрицу-столбец (32) к матрице-элементу [], где функция  определена по формуле (31), имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):

uj(r) =  =

=  +

+  +                                     (33)

+  +

+  +

+  

, j = 1, 2.

          Сравнивая решения (14) и (33) в силу единственности, получаем формулы суммирования полипараметрических функциональных рядов по собственным элементам ГДО Mn, (a):

          , j, k = 1, 2,                  (34)

          , j = 1, 2,           (35)

          , j = 1, 2,                 (36)

          , j = 1, 2,                      (37)

          , j = 1, 2.                   (38)

          Функции влияния  определены по формулам (13), функции Грина  – по формулам (10), функции Грина  – по формулам (11) и функции Грина  – по формулам (12). Так как эти главные решения не зависят от неравенства () ³ 0 или от неравенства () ³ 0, то можно положить  > 0, суживая при этом семью функциональных рядов.

          Итогом изложенного выше есть утверждение.

          Теорема. Пусть компоненты gj(r) функции g(r) Î G удовлетворяют краевым условиям (2) и условиям сопряжения (3). Если при этом выполняется условие (9) однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3), то имеют место формулы (34) – (38) суммирования полипараметрических функциональных рядов по собственным элементам ГДО Mn, (a), определенного равенством (15).

 

          ЛИТЕРАТУРА

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

5.     Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.