Экономические науки/8 математические методы в экономике

Дмитренко И.С., к.ф-м.н., Колесников С.А.

Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра высшей математики

Применение дифференциальных уравнений для решения задачи о замене оборудования в курсе исследования операций

Одной из важных экономически обоснованных проблем, рассматриваемых в курсе исследования операций, является определение оптимальной стратегии в замене старого оборудования на новое. При этом можно рассматривать варианты замены старого оборудования на новое того же вида; или на новое, но более совершенное оборудование. Известны различные постановки данной задачи и методы ее решения. Одним из эффективных методов решения является метод, использующий функциональные уравнения Беллмана.

Рассмотрим одну из задач: определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования возраст которого t₁ на период времени t₀ , при условии_, что суммарные затраты на его эксплуатацию с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Введем следующие обозначения:

K(t)- функция, определяющая стоимость оборудования в любой момент времени t, - начальная цена эксплуатируемого оборудования, - стоимость нового оборудования, - затраты на содержание оборудования в течение года эксплуатации, - остаточная стоимость оборудования в момент времени t_1.

Для того чтобы найти функцию K(t) сформулируем задачу следующим образом: найти функцию, определяющую стоимость оборудования, в предположении, что скорость изменения стоимости прямо пропорциональна ее значению.

Математической моделью является следующее дифференциальное уравнение с краевыми условиями:

,

где а - коэффициент пропорциональности, зависящий от краевых условий.

Тогда решением данного дифференциального уравнения будет следующая функция: - функция стоимости оборудования (его ликвидная стоимость)

Пусть - оптимальные затраты на эксплуатацию оборудования, начиная с n-го шага до конца, при условии, что к началу n-го шага оборудование имеет возраст t лет. Запишем функциональные уравнения Беллмана для данной задачи:

f_n+1(t+1)= .

На первом этапе целевая функция задачи .

В первой строке, описывающей стратегию «сохранение», стоит сумма затрат на эксплуатацию оборудования и оптимальных затрат на эксплуатацию оборудования возраста (t+1) лет на предыдущем (n+1)-ом шаге.

Во второй строке, описывающей стратегию «замена», находится четыре слагаемых, имеющих следующий экономико-математический смысл. Первое слагаемое P₀ это затраты на покупку нового оборудования ; второе R₀ - затраты на его эксплуатацию в течение первого года. Третье слагаемое- это стоимость продажи старого оборудования (данную величину можно характеризовать как доход предприятия, а мы рассматриваем задачу относительно минимизации затрат). Четвертое слагаемое определяет оптимальные затраты на эксплуатацию нового оборудования в течение одного года работы на предыдущем, (n+1)-ом шаге.

Приведем в качестве примера решение задачи о замене оборудования методом обратной прогонки с использованием элементов сетевого программирования при следующих условиях:

P₀=4000, R₀=600, C₀=3000, C₁=2500, t₀=5, t₁=1

Функциональные уравнения Беллмана принимают вид:

f_n+1(t+1)=-3000(5/6)^t.

Составим сетевой график для данной задачи :

В начале первого года имеется оборудование годичного возраста. Мы можем его либо заменить (З), либо эксплуатировать (С) на протяжении следующего года. Если оборудование заменили, то в начале второго года его возраст будет равен одному году, в противном случае его возраст будет два года. Если однолетнее оборудование заменяется в начале второго или третьего года, то заменившее его оборудование к началу следующего года также будет однолетним. В конце 5-го года эксплуатации все оборудование продается (П) в обязательном порядке.

Решение данной задачи эквивалентно нахождению маршрута минимальной длины от начала первого года к концу пятого в сети, показанной на рисунке. Начнем решение задачи с последнего этапа, на котором оборудование любого возраста продается.

Этап 5 f₅(1)=-2500; f₅(2)=-2083,3; f₅(3)=-1736,1; f₅(4)==-1446,8;

f₅(5)=-1205,6

Этап 4

t	С	З	оптимум
	600(t+1)+f5(t+1)	4600-3000(5/6)^t+f5(1)	f4(t)	решение
1	- 883,3	-400	-883,3	С
2	63,9	16,7	16,7	З
3	953,2	363,9	363,9	З
4	1794,4	653,2	653,2	З

Этап 3

t	С	З	оптимум
	600(t+1)+f4(t+1)	4600-3000(5/6)^t+f4(1)	f3(t)	решение
1	1267,2	1216,7	1216,7	З
2	2163,9	633,4	1633,4	З
3	3053,2	1980,6	1980,6	З

Этап 2

t	С	З	оптимум
	600(t+1)+f3(t+1)	4600-3000(5/6)^t+f3 (1)	f2(t)	решение
1	2833,4	316,7	2833,4	С
2	3780,6	733,4	3733,4	З

Этап 1

t	С	З	оптимум
	600(t+1)+f2(t+1)	4600-3000(5/6)^t+f2 (1)	f1(t)	решение
1	4933,4	933,4	4933,4	С, З

При определении последовательности получения оптимального решения будем учитывать тот факт, что если в начале какого либо года эксплуатации есть альтернатива: заменять оборудование либо сохранять, то лучше оборудование заменить.

Итак, из последней таблицы находим, что оборудование данного возраста t₁=1 лучше заменить, тогда в начале второго года эксплуатации имеем оборудование возраста 1 год. Из таблицы этапа 2 при t=1 определяем оптимальную стратегию - сохранение, тогда имеем оборудование уже возраста 2 года. Из таблицы этапа 3 находим при t=2 оптимальную стратегию - замена оборудования. Тогда из последней таблицы при t=1: сохранение оборудования.

Ответ: оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить старое оборудование новым в начале 2-го и 4-го года эксплуатации.

Авторами разработан набор различных практических задач для курса исследование операций , которые были внедрены в учебный процесс.

Литература

1. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов; Под ред..проф.Н.Ш.Кремера.-М.:ЮНИТИ,2002.265-270с.

2. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-912с.

3. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник.-М.:Финансы и статистика, 2001.335-342с.