Экономическин науки/ 8. Математические методы в экономике

К.э.н. Андриенко В.М., магистр Сиротенко Е.В.

Одесский национальный политехнический університет

Статистические методы оценки экономических рисков

В настоящее время в научной литературе существует масса определений такой категории, как риск, и ряд методов количественного анализа риска[2], [3]. Каждый подход имеет как преимущества, так и недостатки. Одни методы являются алгоритмически простыми , но дают недостаточно точные оценки, другие – дают довольно точные оценки, но трудоемки в практической реализации, и требуют знания различных специалистов, что, в свою очередь, влечет за собой определенные расходы. Кроме того, большинство методов опираются на предположения экспертов и несут в себе большую долю субъективизма. Рассмотрим количественную оценку уровня риска, основанную на методах математической статистики. Пусть X - некоторый экономический показатель. Как правило, экономические показатели являются случайными величинами и характеризуются своим распределением. Как известно, множество разнородных процессов в природе, технике, экономике описывается нормальной моделью. Популярность этого распределения объясняется его универсальностью. Математически этот факт объясняется центральной предельной теоремой, утверждающей, что суммарное воздействие многих "мелких" возмущений должно давать флуктуации, распределенные "почти" нормально, т.е. при выполнении определенных условий функция распределения суммы малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения. Нормальное распределение с параметрами характеризуется плотностью распределения

f(x) = , (1)

и функцией распределения

, (2)

где a - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение [1].

Экономические системы являются сложными, как правило, характеризуются взаимодействием большого числа экономических агентов, и к ним соображения о том , что суммарное воздействие многих "мелких" возмущений должно давать флуктуации, распределенные "почти" нормально относятся в полной мере. Поэтому применение нормальных моделей в экономике опирается на серьезную теоретическую базу. Если у нас нет достоверной статистической информации о колебаниях какого-либо экономического показателя, то, априори есть больше оснований предполагать их нормальными, чем какими-либо другими. При построении экономических моделей нормальность часто бывает хорошим "первым приближением" для введения в модели случайности, или "риска". Впоследствии, при развитии этих моделей, может возникать нужда в построении более точных приближений, учитывающих, например, асимметричность построенных по данным распределений, в противоположность симметричному нормальному распределению. Однако первые результаты, часто наиболее важные, во многих случаях удается получить уже в нормальной модели.

Итак, показатель X можно считать случайной величиной, распределенной нормально с параметрами , причем параметры распределения неизвестны. Параметр является средним значением случайной величины X , а параметр - среднеквадратическим оклонением. Найдем оценки неизвестных параметров методами статистического оценивания. Простейший метод статистического оценивания – метод подстановки или аналогии – состоит в том, в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности принимают соответствующую характеристику распределения выборки – выборочную характеристику [1].

Пусть - фактические данные по показателю X. По методу подстановки получим оценку математического ожидания и

= (3)

= (4)

Оценки и является состоятельными, а в случае нормального распределения генеральной совокупности – эффективными, - несмещенной, а - смещенной. Чтобы устранить смещение в формуле (4) величину n нужно заменить на (n-1):

= (5)

Если объем выборки n > 30, то можно применять формулу (4) в силу состоятельности . В случае малой выборки n 30, следует применять формулу (5).

Для среднего значения построим доверительный интервал. Доверительный интервал () это интервал в который с заданной вероятностью p = 1- содержит неизвестное значение параметра , т.е.

Р( ) = 1-.

Число p = 1- называют доверительной вероятностью, а значение - уровнем значимости. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения p= 1-, равные 0,90; 0,95; 0,99.

Известно, что для нормально распределенной случайной величины доверительный интервал для среднего значения имеет вид:

, (6)

где и -точечные оценки, полученные методом подстановки по формулам соответственно (3-5) , -квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы. Таким образом, среднее значение показателя X с вероятностью 1- может принимать значения из интервала (6).

Обозначим X_критич такое минимальное значение показателя, при котором

возможна производственная деятельность. Например, при оценке производственного риска в качестве показателя X следует взять объем производства, тогда X_критич - точка безубыточности. Если критическое значение попадает в доверительный интервал, то риск, связанный с данным показателем равен вероятности p = 1-. В противном случае риск равен вероятности .

Оценкой риска можно считать вероятность того, что X примет значение меньше X_критич,

(7)

Так как , то

(8)

Также можно в качестве оценки риска принять вероятность того, что X выйдет за границы доверительного интервала (6) =

= ) (9)

При вычислении использовалось свойство функции :

(10)

Предложенный подход позволит дать научно обоснованную количественную оценку практически всех видов риска: производственного, коммерческого, финансового, кредитного.

Литература:

1. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и математическая статистика - М.: Высшая школа, 1991.-400с.

2. Грабовый П.Г. и др. Риски в современном бизнесе. - М: издательство «Альянс». 1994.-200 с.

3. Кошечкин С.А. Методы количественного анализа риска инвестиционных проектов- www.aup.ru. 23.03. 2001.