Математика/3.Теорія ймовірностей і математична статистика

Кубайчук О.О.,Єршова О.О., Гончарова Л.С.

Європейський університет

СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ

За оцінкою експертів важливою характеристикою економічного розвитку країни є тривалість життя населення. Дані про тривалість життя використовуються в різних областях знань, наприклад, в актуарній науці, біостатистиці, демографії [1].

Тривалість майбутнього життя (час дожиття) є випадковою величиною і зазвичай позначається . В свою чергу , де випадкова величина – вік у момент смерті особи віку . Тоді тривалість життя є не що інше як [2-3].

Для дослідження тривалості життя можуть бути використані дані, зібрані у різний спосіб, наприклад:

1. дані, оримані під час переписів населення;

2. дані, взяті у відділах реєстрації цивільного стану;

3. дати народження і смерті з кладовищ різних регіонів.

Перший спосіб абсолютно точний (за умови, що перепис проводився добросовісно), але є надто дорогим (мільйони гривень). Проводити дослідження тривалості життя, використовуючи другий спосіб важко, враховуючи бюрократичну систему і … численні помилки в документах. Третій спосіб збору інформації не має вищенаведених недоліків.

1. Методика дослідження

Основною метою статистичного аналізу є виявлення деяких властивостей генеральної сукупності. В нашому випадку генеральною сукупністю є населення України. Якщо сукупність скінченна, то найкраща процедура – розглянути кожен елемент (фактично провести перепис). Ми вчинимо інакше, а саме:

· скористаємось третім способом збору даних,

· зробимо вибірку об’єму і дослідимо її,

· узагальнимо отримані результати на всю генеральну сукупність.

Для того, щоб вибірка була репрезентативною досліджувались населені пункти з різною чисельністю населення, і різним географічним положенням. Фіксувались такі параметри:

· Рік народження (Birth).

· Рік смерті (Death).

· Стать (Gender).

· Назва кладовища (Cemetery).

· Регіон (Region).

Інші параметри обчисювались безпосередньо за наведеними вище:

· Індикатор завершеності даного дослідження (Censored).

· Число прожитих років (Years).

2. Аналіз даних

Для статистичного аналізу даних скористаємось пакетом STATISTICA v.7.

Об’єктом дослідження є змінна Years – тривалість життя. Змінні Gender і Region будуть групувальними. Щоб отримати попереднє уявлення про тривалість життя, побудовані діаграми розмаху, які свідчать, що: середній вік популяції, що населяє Україну (українців) – 68 років; половина людей помирає у віці 53-78 років; зустрічаються довгожителі – 127 років; жінки живуть дещо довше в середньому, і дисперсії в групах майже однакові; середня тривалість життя у столиці трохи нижча ніж у регіонах, і дисперсії в групах майже однакові.

Природньо виникають різні припущення, наприклад: розподіли тривалості життя столичного і регіонального населення, чоловіків і жінок суттєво відрізняються (вибірки з різних популяцій).

Хоча розподіл тривалості життя не є нормальним, ми можемо скористатися двовибірковим -критерієм для перевірки гіпотез про рівність середніх у групах, так як спостережень багато і внутрігрупові дисперсії майже однакові.

Рис. 1. T-тест на рівність середніх в столиці і регіонах.

Рис. 2. T-тест на рівність середніх в групах за статтю.

Тести підтверджують наші припущення (ймовірність помилки при відхиленні гіпотези про рівність середніх є 0,010632 і 0,000 відповідно). Відмітимо також, що для порівняння за регіонами доводиться вводити додаткову умову Birth>1908, для того щоб врахувати різницю у віці кладовищ. Також видно, що дійсно дисперсії в групах мало відрізняються.

Щоб остаточно зняти питання про нормальність розподілів у групах застосовувались непараметричні тести – Wald-Wolfowitz runs test та Mann-Whitney test, які дали подібні результати.

3. Висновки

Всі проведені тести показують, що населення є суміш. Відповідно, тривалість життя доцільно досліджувати методами теорії сумішей.

Література:

1. Залетов О.М. Убезпечення життя. – К., 2006.

2. Бауэрс Н., Гербер Х. и др. Актуарная математика. – М., 2001.

3. Міхайленко В.М., Теренчук С.А., Кубайчук О.О. Теорія ймовірностей, ймовірнісні процеси та математична статистика. – К., 2007.