М.П.Ленюк

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Бесселя на полярній вісі r ³ R₀ > 0

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого на множині = {r: r Î (R₀, R₁) (R₁, ¥)} розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейлера та Бесселя

, r Î (R₀, R₁),

, r Î (R₁, ¥) (1)

за крайовими умовами

, = 0 (2)

та умовами спряження

, j = 1, 2. (3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера [1] та Бесселя [2]:

, 2a₁ + 1 > 0,

, n ³ a₂ > –1/2.

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: q_j > 0, , , || + ¹ 0, ³ 0, ³ 0, с₂₁ × c₁₁ > 0, c_j1 = .

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера утворюють функції v₁ = та v₂ = [1]; фундаментальну систему розв’язків для рівняння Бесселя утворюють функції v₁ = (q₂r) та v₂ = (q₂r) [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1, 3]:

,

. (4)

У рівностях (4) беруть участь функції Коші:

(5)

(6)

У рівностях (5), (6) прийняті позначення:

, ,

, ,

,

.

Крайова умова в точці r = R₀ та умови спряження (3) для визначення величин A₁, B₁,B₂ дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

,

,

. (7)

У системі (7) бере участь функція

G₁₂ = +

+ .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для ненульового вектора = {q₁; q₂} визначник алгебраїчної системи (7)

, (a) = (a₁, a₂). (8)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

, (9)

,

2) породжені крайовою умовою в точці r = R₀ функції Гріна

W_{n, (a); 11}(r, q) = ,

W_{n, (a); 12}(r, q) = ;

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ; (11)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (7) та підстановки одержаних значень величин A₁, B₁ та B₂ у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

u_j(r) = W_{n, (a); 1j}(r, q)g₀ + + +

+ + , j = 1, 2. (12)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (13)

q(x) – одинична функція Гевісайда [3].

Визначимо функції та величини:

,

,

, j = 1, 2;

,

,

b_j = (b ² + )^1/2, ³ 0, j = 1, 2;

,

, ,

,

, , J_n(x), N_n(x) – функції Бесселя порядка n [2].

Наявність спектральної функції

V_{n, (a)}(r, b) = q(r – R₀)q(R₁ – r)V_{n, (a); 1}(r, b) + q(r – R₁)V_{n, (a); 2}(r, b),

спектральної щільності

W_{n, (a)}(b) = b ([w_{n, (a); 1}(b)]² + [w_{n, (a); 2}(b)]²)^–1

та вагової функції

s(r) = q(r – R₀)q(R₁ – r)s ₁ + q(r – R₁)s ₂, , s₂ = 1

дозволяє визначити пряме H_{n, (a)} та обернене гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині ГДО [4]:

, (14)

, (15)

–

–

– , (16)

, j = 1, 2.

Запишемо систему (1) в матричній формі

= – (17)

Інтегральний оператор H_{n, (a)} зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

H_{n, (a)}[¼] = . (18) Припустимо, що max{; } = > 0. Покладемо всюди , ³ 0. Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (18) до системи (17). Внаслідок тотожності (16) маємо алгебраїчне рівняння:

+

+ .

Звідси знаходимо, що функція

+

+ . (19)

Інтегральний оператор згідно правила (15) як обернений до (18) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

[¼] = . (20)

Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (20) до матриці-елемента [(b)], де функція (b) визначена формулою (19). Після низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

+

+

+

+ , j = 1, 2. (20)

Порівнюючи розв’язки (12) та (20) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів [5]:

=; j, m = 1, 2, (21)

=; j = 1, 2, (22)

=; j = 1, 2, (23)

=; j = 1, 2, (24)

У рівностях (21) – (24) функції H_{n, (a); jm}(r, r, q) визначені формулами (9), функції W_{n, (a); 1j}(r, q) – формулами (10), а функції Гріна – формулами (11).

Зауважимо, що при max{; } = > 0 , = 0. У цьому випадку замість стоятиме .

Оскільки праві частини формул (21) – (24) не залежать від нерівностей ³ 0 (у випадку max{; } = ) або ³ 0 (у випадку max{; } = ), то можна покласти , звужуючи при цьому сім’ю невласних поліпараметричних інтегралів.

Підсумком викладеного вище є твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {} неперервна на множин , функції g_j задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) й виконується умова (8) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то справджуються формули обчислення невласних поліпараметричних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (13).

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

5. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.