ВИНЕР ПРОЦЕСІНІҢ ҚАТАҢ МАРКОВТЫҚ
ҚАСИЕТІН ОНЫҢ
УАҚЫТ
АРАЛЫҒЫНДАҒЫ МАКСИМАЛДЫ МӘНІ МЕН T УАҚЫТ СӘТІНДЕГІ БІРЛЕСКЕН
ҮЛЕСТІРІМІН ТАБУҒА ҚОЛДАНУ
Х.А.Аширбаев,
Ж.А.Тлесбаева, А.И.Джумагалиева, Д.А.Жунисбекова, С.Р.Дулатов
(Шымкент
қ., М.Әуезов атындағы ОҚМУ)
Айталық
, t
≥ 0 0-
ықтималдық кеңістігінде анықталған
және
уақыт сәтінде бас нүктеден шығатын Винер
процесі (
) болсын. Бұл процеспен
барлық
, мұндағы
– сан түзуіндегі борелдік сигма-
алгебра, оқиғаларын қамтитын ең кіші сигма- алгебраны (
белгілеуі
) байланыстыруға болады.
Әрине,
және бұлар кемімейтін, яғни
болғанынан
шығатын сигма- алгебралар үйірін құрайды.
кездегі шектік сигма- алгебраны
деп белгілейік:
.
Кез келген
үшін
(1)
шартын қанағаттандыратын
кездейсоқ шамасы
сигма- алгебрасына байланысты марковтық
момент
деп аталады.
Егер
- марковтық момент болса, онда
кез келген
оқиғасы
үшін
(2)
шартын қанағаттандыратын
сигма- алгебрасын енгізелік.
Мына тұжырымдар кездейсоқ процестер теориясынан белгілі.
Тұжырым 1
(Винер процесінің марковтық қасиеті). Кез келген тұрақты
үшін
(3)
процесі Винер
процесі болады және ол
сигма- алгебрасынан тәуелсіз.
Тұжырым 2
( Винер процесінің қатаң марковтық
қасиеті). Айталық,
- ақиқат дерлік түрде
ақырлы, яғни
шартын
қанағаттандыратын марковтық момент болсын. Онда
(4)
процесі Винер
процесі болады және ол
сигма- алгебрасынан
тәуелсіз.
Тұжырым 3.
үшін Винер процесінің a деңгейін бірінші
рет шектеуін білдіретін және
-ға байланысты марковтық
момент болатын
кездейсоқ шамасын былайша
анықталық:
. (5)
Онда оның үлестірім тығыздығы
(6)
Тұжырым 4. Марковтық момент
( a- ның функциясы
ретінде) өсімшелері тәуелсіз, яғни кез келген
үшін
тәуелсіз кездейсоқ шамалар
болатын, процесс болады
Біздің бұл жұмыстағы негізгі
мақсатымыз
және
кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірімін
Винер процесінің қатаң марковтық қасиетін
пайдаланып қалай табуға болатынын көрсету.
Тұжырым 5.
(7)
мұндағы
- математикалық қүтім
алу операторы.
Дәлелдеу. Шындығында да, егер
болса, онда
, g(0)=1.
Енді
- қатынастан
ал g(0)=1 болғандықтан C=0, яғни (7)- қатынас дұрыс.
Тұжырым 6.
және
кездейсоқ шамалары үшін
мұндағы
.
Дәлелдеу.
-
формуланың сол жағындағы ықтималдықтың
Лаплас түрлендіруін табалық.
және кез келген
оқиғасы үшін оның индикаторы
- ның математикалық күтімі оның
) ықтималдығына тең
екенін ескеріп, (
), былай жаза аламыз:
,
(10)
мұндағы
болса; Басқа жағдайларда бұл шама нөлге
тең. Ары қарай
түрінде
жазуға болатынын ( мұндағы
Винер процесінің қатаң марковтық
қасиеті бойынша
сигма- алгебрасынан тәуелсіз жаңа Винер процесі ) ескеріп, сосын сигма- алгебраларға байланысты
шартты математикалық күтімнің қасиеті бойынша
деп жаза
аламыз. Соңғы математикалық күтім мен
ықтималдықты (10)- формулаға қойып, қажетті
интегралдарды есептеп, сосын (8)- қатынасты пайдаланып, мына формуланы
аламыз:
(11)
Енді мынадай
интегралды қарастыралық ( төменде
):
себебі бөлшектеп интегралдаған кездегі
шығатын
шамасы
кезде экспонента есебінен нөлге, ал
болғанда
болуы себепті ықтималдық есебінен нөлге,
айналады.
(11) және (12)- формулалардан, Лаплас
түрлендіруінің жалғыздығын ескеріп, керекті (9)-
қатынасты аламыз.
Тұжырым дәлелденді. (9)- қатынастың оң
жағын түрлендіру арқылы
(13)
болатынын аламыз, мұндағы
параметрлері (0, 1) болатын стандарт нормал кездейсоқ
шаманың үлестірім функциясы.
Қарапайым еептеулер кез келген
және
,
үшін
болатынын көрсетеді.
Пайдаланылған әдебиеттер
1.А. Д. Вентцель. Курс теории случайных процессов. –М.:Наука, 1980