Технические науки/12. Автоматизированные системы управления на производстве.

К.т.н. Уликян А.Т., аспирант Оганян О.Г.

Национальный политехнический университет Армении, Армения

Проектирование простых симметричных систем

автоматического регулирования

Рассмотрим -мерную линейную многомерную систему на рис. 1, где - передаточная матрица объекта регулирования размера , а - передаточная матрица регулятора того же размера.

Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР

Допустим, передаточная матрица является простой симметричной, т.е. передаточные функции всех диагональных элементов одинаковы и, кроме того, все передаточные функции недиагональных элементов также одинаковы [1, 2]. Если обозначить через диагональные, а через все остальные элементы, то простая симметричная матрица может быть записана в виде:

. (1)

Как известно [1,2], передаточная матрица (1) имеет при любом числе каналов только две различные одномерные характеристические системы, имеющие вид:

(2)

. (3)

В теории многосвязного регулирования [1, 2] функции (2) обычно называют передаточными функциями усредненного движения, а все остальные функции () (3) – относительного движения. Подчеркнем, что все характеристические передаточные функции (ХПФ) (2) и (3) являются обычными передаточными функциями с действительными коэффициентами [4].

Известно [2], что если многомерный объект регулирования описывается простой симметричной матрицей (1), то в качестве регулятора целесообразно использовать регулятор, передаточная матрица которого также является простой симметричной, т.е. имеет вид (1), где передаточные функции и следут заменить на и . ХПФ матрицы при этом будут иметь вид

(4)

, (5)

а ХПФ разомкнутой скорректированной системы запишутся в виде

. (6)

Отметим, что все ХПФ , и простой симметричной системы имеют вид (2)-(5), т.е. для каждой из матриц , и имеются только две различные ХПФ с действительными коэффциентами. Поэтому в данном случае достаточно легко определить передаточные функции и регулятора по найденным на основании известных методов классической теории регулирования [4] "желаемым" ХПФ регулятора в (6). Действительно, из (4), (5), после несложных преобразований имеем следующие простые выражения:

(7)

Таким образом, проектирование матричного регулятора для простой симметричной САР произвольной размерности фактически сводится к расчету двух обычных одномерных систем стандартными методами.

Пример. Рассмотрим простой симметричный объект размера с передаточной матрицей

, (8)

где

.

ХПФ усредненного движения (2) при этом имеет вид:

, (9)

а обе ХПФ относительного движения одинаковы и имеют, исходя из уравнений (3), вид:

. (10)

Можно показать, устойчивость данной простой симметричной системы без коррекции определяется ХПФ (10). Запасы устойчивости по амплитуде и фазе системы, определяемые по годографу , при этом равны: дб и .

Выберем теперь такой матричный регулятор, при котором ХПФ усредненного движения скорректированной системы останется без изменения, т.е. будет совпадать с [что соответствует ], а коррекция ХПФ относительного движения будет определяться передаточной функцией

, (11)

имеющей полюс в -0.004 и нуль в -0.025. Передаточная функция (11) рассчитана на основе стандартных методов [4], исходя из условия повышения запасов устойчивости по амплитуде и фазе характеристических систем относительного движения до значений дб и .

Подставив и выражение для (11) в (7), получим

, (12)

Как видно из (12), требуемые взаимные связи компенсатора описываются реальным дифференцирующим звеном. Характеристические годографы скорректированной системы с передаточными функциями матричного регулятора и (12) показаны на рис. 2, где более тонкие линии соответствуют годографам и .

Рис. 2. Характеристические годографы скорректированной системы

Литература:

1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback Control: A Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P.

2. Гаспарян О.Н. Теория многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во «Асогик», 2010, 380 с.

3. Хорол Д. М., Барский А. Г., Орлова М. С. Динамические системы с одноканальными измерителями.- М.: Машиностроение, 1976.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, М.: Наука, 2003, 560 с.