Котесова А.А., Котова С.В., Ляшенко А.С, Климович А.Л. Калабухов А.А.

Ростовский государственный строительный университет, Россия

Оценка равенства сдвигов для крайних членов выборок и генеральной совокупности конечного объема для твердости, прочности и ресурса

В теории и практике надежности, как и в других областях науки и техники в качестве статистического материала используют исходные данные выборок. Объем выборок обычно n=10-100. Вместе с тем количество эксплуатирующихся машин, узлов и деталей может составлять тысячи и миллионы единиц, образуя генеральные совокупности конечного объема (далее совокупности). Известно, что например прочность деталей, их ресурс для совокупности будет меньше, чем у полученных по выборке. Поэтому в расчетах надежности машин необходимо переходить от выборочных исходных данных к данным по совокупностям. Для этого используется корреляционный [1] и аналитический методы [2].

В алгоритме аналитического метода принято равенство сдвигов крайних членов выборок С_кч и совокупности конечного объема С_с с ошибкой 3-5%. Достаточного обоснования величины этой сравнительно большой ошибки не приводится, поэтому возникла необходимость тщательного исследования определения величины данной ошибки. Для этого исследования рассмотрены 10 разных параметров (твердость, предел прочности, ресурс) стальных образцов и деталей.

Для каждого параметра деталей (твердость, предел прочности, ресурс) выполнено моделирование (компьютерный эксперимент), когда по известным трем параметрам распределения Вейбулла для совокупности (объем совокупности N_с=10⁴) случайным образом извлекали выборки объемом n=50 в количестве m=200. Из каждой выборки выбирали минимальные члены выборок и аппроксимировали законом Вейбулла с тремя параметрами.

На рис. 1 приведены 10 графиков плотности распределения совокупности 1 и выборочных сдвигов параметров 2.

Относительные ошибки при сравнении сдвигов совокупности δ_с и крайних членов выборок δ_кч для 10 параметров деталей и образцов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Относительные ошибки при сравнении сдвигов совокупности и их крайних членов выборок

Вс	0,53	1,30	1,52	1,87	2,10	2,69	2,99	3,27	3,36	5,91
δ Х,%	0,0992	0,0760	0,4997	0,0157	0,1180	0,0807	0,2514	0,0761	0,3950	0,1441
δ С,%	0,0996	0,0930	0,8897	0,0000	0,4490	0,1499	0,5799	0,3249	0,5400	0,7439

Из табл. 1 видно, что при сравнении минимальных значений совокупности Х_с и выборок Х_кч, а также сдвигов совокупности конечного объема С_с и совокупности крайних членов выборок С_кч, минимальные ошибки находятся в интервале 0,1-0,9% (среднее значение ошибки δ_ср=0,387%).

Зависимости относительных ошибок от параметров формы В_с при сравнении Х_с и Х_кч а также С_с и С_кч приведены на рис. 2.

Для полноты анализа выполнено сравнение относительных ошибок между С_кч и Х_кч. Минимальные ошибки находятся в интервале 0,0004-2,055% (среднее значение δ_ср=0,534%) (табл. 2, рис. 3), и С_с и Х_с минимальные ошибки находятся в интервале 0,065-2,1% (среднее значение δ_ср=0,732%) (табл. 3, рис. 3).

Таблица 2

Исходные данные и относительные ошибки при сравнении С_кч и Х_кч

Скч	37,06	50,3	79,09	93,45	106,86	121,4	153,83	214,8	652,06	19669,96
Х1кч	37,08	50,3	79,46	93,56	107,33	122,05	156,42	214,86	665,74	19670,04
δ, %	0,054	0,000	0,466	0,118	0,438	0,528	1,656	0,028	2,055	0,0004

Таблица 3

Исходные данные и относительные ошибки при сравнении С_с и Х_с

Сс	36,94	50,30	79,80	92,76	106,70	120,70	153,00	215,00	655,00	19689,57
Хс	37,09	50,30	79,47	93,56	107,33	122,05	156,42	214,86	665,74	19670,04
δ, %	0,391	0,000	0,422	0,854	0,586	1,102	2,186	0,065	1,613	0,099

Рис. 1. Кривые плотностей распределений совокупности и выборочных сдвигов параметров деталей

Рис. 2. График относительной ошибки при сравнении С_кч и Х_кч

Рис. 3. График относительной ошибки при сравнении С_с и Х_с

В результате сравнения данных из табл. 1, 2 и 3 установлено, что минимальная относительная средняя ошибка δ=0,387% при сравнении С_с и С_кч.

Таким образом, анализ соотношения сдвигов для крайних членов выборок и совокупности конечного объема параметров надежности машин и деталей показал, что при С_с=С_кч средняя относительная ошибка δ_ср=0,387%, что во много раз меньше 3-5% [2] и обеспечивает достаточно корректное определение С_с через С_кч.

Библиографический список

1.Касьянов В.Е., Роговенко Т.Н., Топилин И.В. Определение корреляционной зависимости параметров функции распределения генеральной совокупности конечного объема деталей и выборочных распределений. Деп. В ИНИТИ № 3038 – В 99, 11.10.99.

2. Касьянов В.Е., Прянишникова Л.И., Дудникова В.В., Кузьменко А.В. Определение параметров распределения Вейбулла для совокупности конечного объема по выборке прочностных характеристик сталей. Ростовский государственный строительный университет. – Ростов-на Дону, 2006 – 10с. – Рус. – Деп. В ВИНИТИ № 389 – в 2004 3.03.04.