Абатов Н.Т., кандидат физико-математических наук, доцент Костанайского государственного университета им. А.Байтурсынова г.Костанай, Каазахстан

О методах решения некоторых логарифмических неравенств

Выпускники школ затрудняются при решении сложных логарифмических неравенств, которые часто встречаются на ЕНТ по математике. Поэтому рассмотрим некоторые сложные логарифмические неравенства и укажем способы их решения.

№1. Решите неравенство: - + 3

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:

Применяем формулу:

Тогда имеем:

.

Введём замену . Тогда получаем квадратное неравенство:

( 1 )

Применяем метод интервалов. Тогда решение неравенства ( 1 ).

Производим обратную замену

Тогда имеем:

Таким образом, [-8;-2] решение исходного неравенства.

Ответ: [-8;-2].

№2. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу где xa > 0,

Тогда и данное неравенство примет вид:

Введем замену . Тогда получаем неравенство

Применяем метод интервалов. Тогда решение неравенства

Производим обратную замену и учтем область определения функции. Тогда имеем:

a)

Эта система неравенств не имеет решений.

b)

Тогда [9; решение исходного неравенства.

Ответ: [9;.

№3. Решите неравенство:

Решение. Применяя формулы :

и приводим к одному основанию 2.

Введём замену Тогда имеем: ( 2 )

Это дробно-рациональное неравенство. Применяем метод интервалов. Тогда

решение дробно-рационального неравенства ( 2 ).

Производим обратную замену : . Учтём область определения исходной функции: Тогда имеем:

a)

Итак, [0,25; 1) является решением неравенства в первом случае.

b)

Тогда [8; решение неравенства во втором случае.

Объединяем найденные решения. Тогда [0,25; 1)[8; решение исходного неравенства.

Ответ: [0,25; 1)[8;.

№4. Решите неравенство: .

Решение. Применяем формулу где

Тогда имеем:

Введём замену: y = lgx. Тогда имеем:

Решением квадратного неравенства является множество

Производим обратную замену: y = lgx. Тогда:

Тогда множество является решением исходного неравенства.

Ответ: .

№5. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу:

Тогда имеем:

Логарифмируем обе части данного неравенства по основанию 5. Тогда имеем:

Тогда множество

Ответ:

Литература

1. Абатов Н.Т. Методы решения задач по математике. Алгебра. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы.- Костанай, 1998г.

2. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. Справочное пособие.-Москва,1995г.

3. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Учебное пособие / Под редакцией М.И. Сканави.-Москва,1978г.