УДК 517.946 математика

к.ф.м.н Р.А.Алиев

Об определении неизвестных коэффициентов в линейном

эллиптическом уравнении

Азербайджанский университет кооперации,Баку

Исследуется обратная задача нахождения коэффициентов и решения ли-нейного эллиптического уравнения, в заданном прямоугольнике.Доказаны тео- ремы существования, единственности и устойчивости решения поставленной обратной задачи. С помощью метода последовательных приближений построен регуляризирующий алгоритм для определения нескольких коэффициентов Исследования проводится в классе непрерывно дифференцируемых функций, производные которых удовлетворяют условию Гельдера.Единственность реше-ния обратных задач для линейных уравнений эллиптического типа рассмо-трены в работах [1-2].

Пусть Рассмотрим задачу об определении из следующих условий

(1)

(2)

(3)

(4)

, (5)

удовлетворяющих условия Здесь -задан-

ные функции

- не- которые числа.

Определение 1.Функции назовем решением задачи

(1) - (5), если удовлетворяются

соотношения (1) -(5).

Теорема 1.Пусть Тогда решение задачи (1) -

- (5) единственно и верна следующая оценка

(6)

.

-положительные постоянные,зависящее от данных и решений задачи.

Метод последовательных приближений для решения задачи (1) -(5) при-менялся по схеме

(7)

, (8)

(9)

, (10)

. (11)

По схеме (7) - (11) последовательные итерации проводятся следующим обра-

зом:сперва выбираются некоторые принадлежащие и подставляются в уравнение (7).Далее решается задача (7) - (9) и находится По функциям из условий (10)-(11) находятся и эти функции используются для проведения следующего шаг итерации.

Теорема 2. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и при всех

,,

, производные функции по до второго

порядка равномерно ограничены. Тогда функции по-лученные методом последовательных приближений (7) - (11) при рав-номерно сходятся к решению задачи (1)- (5) со скоростью геометрической про-грессии.- положительное постоянное, зависящее от данных задач.

Существование решения задачи (1) - (5) доказывается для частных случаев.

1. Пусть - заданная функция, из условий (1)-(3),(5) требуется оп-ределить функции .

Теорема3. Пусть

. Тогда задача (1) -- (3), (5) имеет хотя бы одно решение. - положительное число, зависящее от данных задач.

2. Пусть - заданная функция, из условий (1)-(4) требуется опреде-лить функции .

Теорема 4. Пуст

-такое неотрицательное функции, что ограничено,- поло-жительное число.Тогда задача (1)- (4) имеет хотя бы одна решение.

Литература

1. Искендеров А.Д. Обратная задача об определении коэффициентов эллипти-

ческого уравнения // Диф.уравнения.1979.- Т.20,№11.-С.858-867.

2. Клибанов М.В.Обратные задачи в целом и Карлемановские оценки // Диф.

уравнения. 1984. - Т.20 №6. -С.1035-1041.

E-mail:ramizaliyev3@rambler.ru