Математика/5. Математическое моделирование

к.ф.-м.н. доц. В.И. Евсеев

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия,

кафедра прикладной информатики

УДК 681.32 1 - vladislaw.evseev@yandex.ru, т.89047610772

О СТРУКТУРЕ МИНИМАЛЬНОЙ СЕМАНТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

§ 1. Строение блоков симметрической группы.

Мы изучим минимальную симметричную семантическую группу, которая в таблице классификации (см. [1], стр. 228) имеет номер семь и характеризуется набором значений: (B,D,C,A) = (1,7,7,1). Эта группа является минимальной, так как обе общие конгруэнции входят в нее по одной. Кроме того, она является традиционной, ввиду единственности позитивной обшей конгруэнции типа А. Симметричность отражает одинаковое число позитивных и негативных конгруэнций. Для этой группы выбирается правильный изотоп, то есть, конкретный представитель, который удовлетворяет требованию структурной симметричности и позволяет точно построить бинарные операции конъюнктивного типа, а также их преобразования.

Указанный изотоп определяется следующей матрицей:

Sk( X,Y)

Y X	B	D	C	A
B	B	D	C	C
D	D	D	D	D
C	C	D	C	C
A	C	D	C	A

Схема анализа состоит из следующих частей:

а) сначала для каждой бинарной операции строятся матричные представления универсумов (общий и расширенный),

б) затем из расширенной матрицы выделяются подматрицы блоков универсума,

в) для каждого блока выполняется построение частных случаев, которые получаются в зависимости от принадлежности исходных высказываний различным сочетаниям блоков,

г) делаются соответствующие выводы о возможностях сильной или слабой адекватности в каждом конкретном сочетании. При выполнении этого анализа обычно недопустимые сочетания не указываются, так как они соответствуют пустому множеству и не содержат допустимых при данном сочетании результатов. Сами результаты помечаются индексом «0», если это – слабо адекватное суждение и символом «1», если это – сильно адекватное суждение. С учетом симметричности данной операции и распределением исходных слабо и сильно адекватных суждений приходим к расширенной матрице универсума этой БОКТ:

Y X

Теперь будем выделять из этой общей матрицы ее подматрицы блоков.

Таким образом, получаем: первый блок

Y X

Второй блок :

Y X

Третий блок:

Y X

§ 2. Полный семантический анализ конъюнкции

Теперь переходим к построению соединений суждений в блоках для этого вида операции. Для первого блока получаем структуры.

Y X

7.1.1. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица симметрична и содержит сильно адекватные суждения только типа (три центральных элемента), а также два слабо адекватных значения по главной диагонали. Остальные блоки пусты, так как являются недопустимыми для данного сочетания. Это следует учитывать при рассмотрении и конкретных примеров.

Y X

7.1.2. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В данном случае матрица универсума несимметрична, и содержит один частнопозитивный элемент , который определяет конъюнкцию частнопизитивного и сильно адекватного исходного суждения с общенегативным и сильно адекватным суждением типа . Остальные сильно адекватные результирующие суждения относятся к типу , а слабо

адекватные имеют то же вид, что и в предыдущем случае.

Y X

7.1.3. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Здесь наблюдается принципиально такая же картина, что и в предыдущем блоке, поэтому мы позволим себе подробно не останавливаться.

Y X

7.1.4. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта результирующая матрица содержит всего четыре допустимых сочетания, одно из которых является общепозитивным и слабо адекватным. Матрица в данном случае симметрична и содержит лишь один тип сильно адекватных суждений , который оказывается частнонегативным.

Y X

7.1.5. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В этой подматрице можно отметить наличие всех четырёх видов суждений, из которых частные оказываются сильно адекватными, а общие – слабо адекватными.

Y X

7.1.6. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В этой подматрице имеется всего четыре возможных сочетания, из которых три оказываются сильно адекватными, хотя частными. Единственное общепозитивное суждение является слабо адекватным.

Построенные шесть подматриц определяют результирующие допустимые значения для первого блока универсума изучаемой конъюнкции.

Аналогично изучаются и соединение в других блоках результирующей матрицы.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин. Математическая логика. СПб.«Лань».2005.

2. В.И.Евсеев. Логика. Изд – во ТАРИ. Казань. 2001.