Математика/5. Математическое моделирование

к.ф.-м.н. доц. В.И. Евсеев

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия кафедра прикладной информатики

УДК 681.32 1 - vladislaw.evseev@yandex.ru, т.89047610772

О ТИПОЛОГИИ УРОВНЕЙ БИНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

§ 1. Уровни бинарных операций

1.Уровнем бинарной операции назовем ее условную сложность построения. Так к первому уровню будут отнесены: конъюнкции (), правый () и левый () поляроиды и нильюнкция () . В этих операциях, во-первых, имеется лишь по одному рабочему блоку, во-вторых, одна операция от другой отличается лишь порядком внутренних отрицаний, в результате которых и появляются эти операции.

Ко второму уровню отнесем операции, получающиеся из операций первого уровня путем их внешних отрицаний. Сюда относятся: штокъюнкция ( , внешне полярная с конъюнкцией; дизъюнкция (), внешне полярная нильюнкции; левая импликация () , внешне полярная правому поляроиду, и правая импликация (), внешне полярная левому поляроиду.

К третьему уровню относятся бинарные операции, получающиеся как конъюнкции операций второго уровня. Таких операций шесть: правый трап = , левый трап = , верхний трап = нижний трап =,а также классические бинарные операции – эквиваленция = и полярная ей хартъюнкция = .

Зная параметры бинарной операции (,,,), можно составить ее основную матрицу

Рассматривая набор ( ) как двоичное число, получим полную таблицу всех бинарных операций для Аристотелева универсума. Параметры адекватности отражают соответствие реальных объектов и их описаний. Параметры адекватности: – слабая адекватность, – сильная адекватность (). Под адекватностью мы понимаем соответствие между объектом и его описанием.

2. Соинверсностью () назовем отрицание по соответствующим аргументам. Получаем соинверсность по первому аргументу:

: при неизменном ,

соинверсность по второму аргументу:

: , при неизменном ,

Соинверсность по обоим аргументам:

: одновременно.

Кроме того, возможна внешняя соинверсность:

: , где - заданная бинарная операция.

Внешняя соинверсность отражает инверсию всей бинарной операции.

Т.1. ТАБЛИЦА БИНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

№					тип	наименование	Табл.	Гр.
0	0	0	0	0		Общая ложь		0
1	0	0	0	1		Конъюнкция		1
2	0	0	1	0		Левый поляроид		1
3	0	0	1	1		Трап нижний		3
4	0	1	0	0		Правый поляроид		1
5	0	1	0	1		Трап правый		3
6	0	1	1	0		Хартъюнкция		3
7	0	1	1	1		Дизъюнкция		2
8	1	0	0	0		Нильюнкция		1
9	1	0	0	1		Эквиваленция		3
10	1	0	1	0		Трап левый		3
11	1	0	1	1		Левая импликация		2
12	1	1	0	0		Трап верхний		3
13	1	1	0	1		Правая импликация		2
14	1	1	1	0		Штокъюнкция		2
15	1	1	1	1		Общая истина		0

Первая группа при инверсиях приводит к следующей таблице.

Т.2. ТАБЛИЦА ИНВЕРСИЙ ПЕРВОЙ ГРУППЫ

№ оп.	1	2	4	8

Для второй группы получаем следующую таблицу:

Т.3. ТАБЛИЦА ИНВЕРСИЙ ВТОРОЙ ГРУППЫ

№ оп.	7	11	13	14

Аналогично и для третьей группы получаем таблицу инверсий:

Т.4. ТАБЛИЦА ИНВЕРСИЙ ТРЕТЬЕЙ ГРУППЫ

№ оп.	3	5	6	9	10	12

§ 2. Построение трехэтажных бинарных конструкций

Основным видом таких конструкций являются:

а) Левая позитивная трехэтажная конструкция, имеющая вид:

. (2.1)

б) Левая негативная трехэтажная конструкция, вид которой:

. (2.2)

в) Правая позитивная трехэтажная конструкция:

. (2.3)

г) Правая негативная трехэтажная конструкция:

. (2.4)

Для каждой конструкции результаты вычислений будем приводить в таблицах по уровневым группах. В силу симметричности конъюнкции, результаты левой и правой конструкций совпадают.

Так, для первого уровня получаем:

Т.5.1. Первая позитивная трехэтажная конструкция

Т.5.2. Первая негативная трехэтажная конструкция

Для второго уровня:

Т.5.3. Вторая позитивная трехэтажная конструкция

Т.5.4. Вторая негативная трехэтажная конструкция

Т.5.5. Третья позитивная трехэтажная конструкция

Т.5.6. Третья негативная трехэтажная конструкция

§ 3. Построение четырехэтажных бинарных конструкций

Для четырехэтажных бинарных конструкций рассмотрим как основной пример применение соединяющей конъюнкции. По этому принципу могут быть построены и другие случаи подобных конструкций. Здесь также удобны табличные результаты вычислений, которые характеризуют возможные соединения групп по уровням условной сложности. Таких соединений, естественно, оказывается шесть.

Т.6. Конструкция двух первых уровней

1 1

Т.6.2. Конструкция первого и второго уровней

2 1

Т.6.3. Конструкция первого и третьего уровней

3 1

Т.6.4. Конструкция двух вторых уровней

2 2

Т.6.5. Конструкция второго и третьего уровней

3 2

Т.6.6. Конструкция двух третьих уровней

3 3

Аналогично могут быть изучены и конструкции с другими соединяющими бинарными операциями. По всей изложенной теме возможен хороший практикум решения конкретных задач.

Литература:

1. Евсеев В.И. Логика. Монография. Изд – во ТАРИ. 2001 г.

2. Евсеев В.И.,Вафин Ф.Ф. Информационное обоснование логической семантики //Теория и технология компьютерного обучения, вып. 6. Изд – во КГТУ (КАИ). 2002 (3- 16).