д. ф.-м. н. проф. Эпп В.Я., Мастерова М.А.

Томский государственный педагогический университет

Метод эффективной потенциальной энергии для исследования поля прецессирующего магнитного дипольного момента.

Введение.

Поле магнитного дипольного момента и движение заряженных частиц в этом поле имеет большое практическое значение в астрофизике. Магнитные поля планет и звезд в хорошем приближении можно считать дипольными. Хорошо исследован стационарный случай, когда магнитный момент небесного тела совпадает с осью вращения. В частности довольно подробно исследовано движение заряженных частиц в поле Земли. Решение уравнений движения в магнитном поле покоящегося диполя дает замкнутые области, в которых могут двигаться заряженные частицы определенного диапазона энергий. Для планет эти области называются радиационными поясами [1].

Также известны тела, у которых направление магнитного момента отличается от направления оси вращения. В этом случае вокруг тела присутствует не только электрическое, но и магнитное поле. Примером таких тел могут служить нейтронные звезды, и в частности пульсары. Поля таких тел хорошо апроксимируются полем прецессирующего магнитного дипольного момента [2].

В этой работе проводим исследование эффективной потенциальной энергии. Здесь исследуется устойчивость движения частиц в непосредственной близости от стационарных точек. Особое внимание уделяется исследованию областей разрешенных и запрещенных для движения заряженных частиц. Эти области описаны и изображены для частиц с разными значениями интеграла движения. Показано, что существуют замкнутые разрешенные области при определенных значениях интеграла движения. Эти области вращаются совместно с электромагнитным полем намагниченного тела.

1. Динамика заряженной частицы

Рассмотрим поле, создаваемое прецессирующим магнитным диполем. Закон движения вектора дипольного момента в декартовой системе координат зададим в виде:

Найдем функцию Лагранжа для заряда в поле прецессирующего магнитного дипольного момента:

(4)

Полученная функция Лагранжа содержит все обобщенные координаты и является явной функцией времени, которое входит только в сочетании .

Далее рассмотрим движение нерелятивистской заряженной частицы. Введем новые обобщенные координаты: , .

Тогда в координатах , нерелятивистская функция Лагранжа примет вид:

₍₅₎

где . Теперь функция Лагранжа, а следовательно функция Гамильтона системы не зависит явно от времени. В этом случае величина

(6)

представляющая собой функцию Гамильтона, является интегралом движения. Первое слагаемое в этом выражении всегда положительно и может играть роль кинетической энергии. Оставшуюся часть обычно называют эффективной потенциальной энергией. Её можно записать в форме:

(7)

где

В этих обозначениях формулу (6) удобно переписать в виде: . Неравенство накладывает ограничения на допустимую область движения частиц.

2. Стационарные точки эффективной потенциальной энергии.

Исследуем эффективную потенциальную энергию. В стационарных точках эффективной потенциальной энергии частица может находиться в состоянии равновесия – устойчивого, неустойчивого или безразличного. Для того, чтобы найти стационарные точки функции , находим решение системы уравнений: , где . Отсюда получим систему из трех уравнений:

, (9)

, (10)

(11)

Уравнение (9) имеет два решения:

(12)

(13)

Решение для .

Используя (12) мы можем исключить переменную из уравнений (9), (10) заменой , где соответствует , соответствует .

В результате получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

, (14)

(15)

Выразим из (14) и подставим в (15) . Получим уравнение: , где . Это уравнение имеет решение:

(16)

Знак перед квадратным корнем определяется знаком заряда при условии что .Тогда мы можем записать (16) как

, (17)

где - знак заряда.

Для первого решения, учитывая уравнения (9), (10), имеем следующие серии координат критических точек для функции для положительной частицы в случае когда :

, , . (18)

, , . (19)

Для отрицательной частицы:

, , . (20)

, , . (21)

Таким образом, решения уравнений (9) - (11) для случая дают нам две стационарные точки для положительной и две для отрицательной частицы.

Решение для :

Для второго решения можно получить две стационарные точки для положительной частицы если и для отрицательной частицы если :

, , , , . (23)

Частица, находящаяся в стационарной точке может находится в состоянии равновесия. Проверим, удовлетворяют ли координаты частицы находящейся в критической точке уравнениям движения.

Во всех найденных стационарных точках возвратимся к системе координат . При подстановке всех полученных координат стационарных точек в уравнения движения [4] получим тождества. Отсюда следует, что найденные стационарные точки являются частными решениями данной системы уравнений движения.

Таким образом, получили четыре траектории, по которым может двигаться частица. Причем, радиус движения и угол для положительной и отрицательной частицы различны.

Так же в плоскости получили две траектории, для которых частица может двигаться по окружности с постоянной скоростью.

3. Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной энергии.

Вернемся к выражению Начальные координаты и скорости частицы определяются интегралом движения . Если они указаны, то частица может двигаться только в пространстве, где . Представим вид поверхностей . Эти поверхности ограничивают разрешенные для движения частиц области. Эквипотенциальные поверхности для некоторых значений и показаны на рисунках 1-3. Все рисунки соответствуют значению .

Рис. 1. Эквипотенциальная Поверхность для С=-4, q=1. А и C –разрешенные области, В - запрещенная область.

Рис. 2. Эквипотенциальная поверхность для С=-3, q=-1. А и С – разрешенные области, В - запрещенная область.

Рис.3. Эквипотенциальная поверхность

для С=-1, q=1. В – запрещенная область,

А – разрешенная область.

Заключение

Таким образом, в работе найден интеграл движения для нерелятивистской заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента и записана эффективная потенциальная энергии. Показано, что каждая стационарная точка эффективной потенциальной энергии является частным решением уравнений движения такой частицы.

Эквипотенциальные поверхности построены для различных значений интеграла движения, для положительного и отрицательного заряда частицы. Результаты могут быть использованы для описания радиационных поясов вокруг некоторых конкретных небесных тел, обладающих полем наклонного магнитного диполя.

Литература

1. Holmes-Siedle A.G., Adams L. Handbook of Radiotoins Effects. Oxford University Press, England, 2002.

2. Michel F.C. Theory of Neutron Star Magnetospheres / F.C. Michel. - London: Chikago Press, 1991. - P. 287.

4. Мастерова М. А., Исследование уравнений движения заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента. 2011. – C. 306 – 401.