Економічні науки/8. Математичні методи в економіці

К.ф.-м.н. Мельник О.О.

ДВНЗ "КНЕУ імені Вадима Гетьмана", Україна

Умови досягнення оптимального прибутку виробництва із застосуванням комплекснозначних функцій

Сьогодні складно уявити собі ряд наук без застосування комплексних чисел [1]. Теорія електротехніки, електромеханіки, радіотехніки, літакобудування та інших наук неможлива без застосування моделей у вигляді комплексних чисел. Зауважимо, що такі характеристики комплексного числа як його модуль і аргумент, мають сенс тільки тоді, коли складові комплексного числа відображають загальний зміст.

Наприклад, товар є носієм двох складових: споживчих властивостей, об'єктивно властивих товару, і ціни - грошової оцінки споживчих властивостей товару конкретним споживачем.

Сьогодні комплекснозначна економіка являє собою досить розвинений математичний інструмент, який спирається, в тому числі, і на економетрику комплексних змінних [2, 3]. Оцінки цих моделей дозволяють використовувати їх в реальній економічній практиці. Але ці оцінки є точковими, а теоретичне та методичне обґрунтування інтервальних оцінок комплекснозначних моделей поки не відомі, що звужує межі застосування комплекснозначної економіки в реальній практиці. У зв'язку з цим задача побудови інтервальних оцінок комплекснозначних моделей економіки представляється актуальною.

Одночасно з цим, апарат виробничих функцій недооцінений і, більшою мірою, використовується в математичній економіці та економетриці лише в якості моделі, що дає певну інформацію для подальших досліджень. Розробка нових моделей, що істотно відрізняються від наявних і привносять щось нове в теорію виробничих функцій, є актуальною проблемою.

Розглянемо степеневу функцію вигляду:

(1)

де

К – витрати капіталу, L - витрати праці, причому . Аргумент - це багатозначна функція, геометрично зображується багатолистою рімановою поверхнею, її однолисту функцію отримуємо за допомогою розрізу в площині W по осі і проколом в точці w=0. Тоді змінюється в межах , тобто на верхньому розрізі а на нижньому розрізі . Отже, дістаємо взаємно однозначну відповідність: для кожної точки Z відповідає лише одна точка W.

Моделювання за допомогою комплексної функції (1) зводиться до того, щоб при певних заданих значеннях аргументів Z отримати очікувані оптимальні значення функціональних залежних величин W та максимальне значення прибутку виробництва

_{Дістаємо обернену виробничу функцію:}

,

_{або в тригонометричній формі:}

.

_{Звідси:}

_Звідси

. (2)

_{Отже, для очікуваних значень об’єктів К і L плануємо об’єкти G i C такими, що при збереженні виробництва задовольняють умову (2) для отримання оптимального прибутку виробництва.}

Потрібно зауважити, що всі складові комплексних змінних витрат виробництва і валового прибутку повинні бути приведені до одних і тих же одиниць виміру. Для цього можна скористатися різними формулами нормалізації змінних, що приведе до їх безрозмірності [1].

Література:

1. Блудова Т.В., Мартиненко В.С. Теорія функцій комплексного змінного. – К. Просвіта, 2000.-472 с.

2. Светуньков И.С. Использование комплексных переменных в теории производственных функций / Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов, 2007, № 4. С. 127-129.

3. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Производственные функции комплексных переменных: Экономико-математическое моделирование производственной динамики. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. -136 с.