Экономические науки/8. Математические методы в экономике

К. физ. – мат. н., доцент Крылов В.Е.

Владимирский Государственный Университет

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Пространственно – временные диаграммы как способ моделирования социально - экономических систем

Под социально – экономической системой мы понимаем взаимосвязанное множество социальных и экономических субъектов, а также отношений между ними, обусловленных распределением, потреблением материальных и нематериальных ресурсов, производством, распределением, обменом и потреблением товаров и услуг.

На существование и функционирование системы оказывают влияние всевозможные факторы, которые мы будем обозначать символами, ,…, . Рассмотрим интегрированный показатель S, являющийся функцией от факторов системы,

. (1)

Очевидно, что каждый фактор зависит от времени

,.

Поэтому

. (2)

Значению времени соответствует значение функции (2)

.

Его мы будем называть состоянием системы.

Если состояние системы не зависит от времени, то система есть статическая, в противном случае – динамическая.

С течением времени система меняет свое состояние и переходит из состояния в состояние . Процесс перевода системы из одного состояния в другое называется управлением:

. (3)

Управление осуществляется в соответствие с некоторым планом – стратегией управления системой по переводу из одного состояния в другое.

С каждым управлением связан определенный критерий эффективности

. (4)

Соответственно, оптимальному значению критерия (4) соответствует оптимальное управление , а ему в свою очередь – оптимальная стратегия.

Очень удобным представляется моделирование управления с помощью пространственно – временных диаграмм (ПВД).

Рассмотрим декартову систему координат. По оси абсцисс будем откладывать значения функции S (1), а по оси ординат – время. Тогда состоянию системы в данный момент времени будет соответствовать точка А с координатами (рисунок 1).

Рис. 1. Модель состояния системы.

Управление моделируется в виде направленной линии. Началу линии соответствует некоторое начальное состояние системы, а концу – конечное. В простейшем случае линия представляет собой луч. На рисунке 2 представлена ПВД, на которой процесс перехода системы из одного состояния в другое представлен в виде луча.

Рис. 2. Модель динамической системы.

Из рисунка 2 следует, что состояние системы меняется со временем. Значит, мы имеем дело с динамической системой. Исходя из определения, получаем: статической системе соответствует ПВД, изображенная на рисунке 3.

Рис. 3. Модель статической системы.

Ясно, что управление, помимо направления изменения процесса, характеризуется скоростью и ускорением . Эти параметры находятся путем дифференцирования функции (1) по времени t:

, .

Пространственно – временные диаграммы позволяют по построенной модели управления определить и скорость и ускорение изменения состояния системы. На рисунке 4 представлена ПВД системы изменение состояния которой происходит с положительной скоростью, при этом оно замедляется со времени (система «прогрессирует» с «замедлением»).

Рис. 4. Система «прогрессирует» с «замедлением».

Более подробно правила построения ПВД изложены в монографии [1] и статье [2].

В качестве примера применения ПВД приведем алгоритм построения оптимальной стратегии перевода социально – экономической системы из начального состояния в конечное (см. статью [2]).

1. Определяем ранние сроки и поздние сроки перевода системы в конечное состояние. Также находим конечные состояния системы, находящиеся в диапазоне от до . Получаем многоугольник конечных состояний системы. Строим его на пространственно – временной диаграмме.

2. Разбиваем временной интервал, необходимый на перевод системы из начального состояния в конечное, на N частичных временных отрезка . Напомним, что в общем случае они могут иметь разную длину. Удобно, если длина отрезка разбиения кратна

.

3. Строим траекторию крайнего оптимизма. Затем на пространственно – временной диаграмме строим траекторию крайнего пессимизма. Тем самым, находим поле стратегий.

4. На каждом шаге в зависимости от выбранного значения коэффициента оптимизма строим траекторию, соответствующую оптимальному управлению на данном промежуточном шаге.

Пусть

- число, не меньшее нуля, но не большее единицы. Назовем его коэффициентом оптимизма. Оно характеризует степень риска, соответствующую i – тому состоянию системы. Значение коэффициента оптимизма определяет экспериментатор в зависимости от создавшейся ситуации и от субъективного его отношения к риску.

Тогда, оптимальному управлению, приводящему систему из состояния в соответствует траектория, построенная исходя из соотношения:

. (5)

Заметим, что если , то конец траектории пересечется с траекторией крайнего пессимизма в точке . Если же , то траектория в точке пересечется с траекторией крайнего оптимизма.

Рассмотрим пример (рисунок 5). Пусть в момент времени было решено, что значение коэффициента оптимизма можно принять равным

.

Применяя критерий (5) для времени находим точку В:

.

Соединяем направленным отрезком точки А и В. Итак, оптимальному управлению , переводящему систему из состояния в , соответствует направленный отрезок АВ.

Рис. 5. Построение оптимального управления .

Неоспоримым преимуществом критерия (5) является то, что со временем можно изменить значение коэффициента оптимизма исходя из сложившейся ситуации.

5. Объединяя вместе полученные в пункте 4 алгоритма управления , получаем оптимальное управление для всей задачи:

.

6. По величине скорости изменения промежуточного состояния системы, соответствующей управлению , находим значение критерия эффективности применения стратегии. Тогда, суммарный эффект от применения оптимального управления, равен

_{ПВД, соответствующая алгоритму, представлена на рисунке 6.}

Применение ПВД оказалось очень эффективным для моделирования развития муниципальных образований. Первые подходы к решению этой задачи осуществляются вместе в А.Ю. Андриановым [3]. Оказалось, что пространственно - временные диаграммы позволяют выстраивать стратегию развития муниципальных образований, производить прогноз возможных последствий.

Практика показывает, что пространственно - временные диаграммы являются очень удобным инструментом моделирования управления. Используя простейший математический аппарат, ПВД позволяют снимать параметры системы, строить прогноз ее развития, моделировать случаи взаимодействия социально – экономических систем.

Рис. 6. Пример построения оптимальной стратегии.

В учебнике [4] доктор экономических наук, профессор Ю.А. Маленков пишет: «Применяя научные методы моделирования стратегий, руководители компаний получают новые возможности быстро и эффективно определять сильные и слабые стороны своих фирм, выйти на новый уровень конкурентоспособности, увеличить прибыль и эффективность, устранить препятствия, мешающие формированию команд эффективных менеджеров, оценить уровень развития своих менеджеров, развивать механизмы внутренней конкуренции». Надеемся, что пространственно – временные диаграммы будут способствовать решению этих задач.

Литература:

1.Глобальная трансформация: экономика, бизнес, социум: коллективная монография. / Автоном. некоммерч. орг. высш. проф. образования «Владим. ин – т бизнеса». – Владимир: ВИБ, 2012.

2. Крылов В.Е. Пространственно-временные диаграммы в стратегическом управлении социально-экономическими системами // Динамика сложных систем. 2012, № 4, т.6, С. 36 – 43.

3. Андрианов А.Ю. Стратегические проблемы социального развития муниципального образования // Актуальные проблемы менеджмента: формирование эффективных систем и процессов стратегического управления: материалы научно – практической конференции. Санкт – петербург, 14 декабря 2012 г. СПб.: ОЦЭиМ, 2013 – 220 с., с.с. 64 – 66.

4. Маленков Ю.А. Стратегический менеджмент: учеб. – М.: Проспект, 2009. – 224 с.