К.т.н. В.И. Семенов, А.К. Шурбин

Чувашский государственный университет, Россия

Кратномасштабный анализ изображений с кратностью меньше 2

При выполнении кратномасштабного анализа (КМА) пространство сигналов L²(R) представляется в виде системы вложенных подпространств . Разложение функций на вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m, для дискретного ВП (вейвлет-преобразования), выполняется по формуле [1,2,3]

,

где j_m,k(t) – скейлинг-функция или масштабирующая функция, y_m,k(t) – дискретный вейвлет. Значения коэффициентов

,

на практике определяются с помощью дискретного быстрого ВП (алгоритм Малла). Скейлинг-функцию и вейвлет получают с помощью функциональных уравнений. Как правило, они не имеют аналитического выражения.

Авторами разработан алгоритм КМА сигналов, который позволяет любой сигнал длительности представить в виде совокупности последовательных приближений. В отличие от дискретного ВП, данный алгоритм удобен и прост. Не нужно вычислять аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты для скейлинг- и вейвлет-функций. Нет необходимости находить сплайновые и пакетные вейвлеты, койфлеты.

По аналогии с дискретным ВП, в данном алгоритме все пространство сигналов L²(R) в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней декомпозиции сигнала:

.

«Размеры» подпространств непрерывно расширяются по мере уменьшения значения m, а объединение всех подпространств, в пределе, дает пространство L²(R):

_{Единственный общий элемент для всех подпространств – нулевой:}

Образуем функции такие, что (символ ″ не означает двойного дифференцирования)

, и т.д.

Если сигнал принадлежит пространству W_m–1, то одновременно он входит в пространство W_m, вместе с ним в этом пространстве находится и сигнал . Уменьшение номера пространства позволяет изучать все более и более мелкие детали и особенности сигнала с более высокочастотными компонентами, т.е. переходить от грубого приближения к приближению более высокого разрешения. Тогда сигнал с самым большим временным разрешением . Переменная m называется, так же как для а, масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m большое, то функция есть грубая аппроксимация S(t), в которой отсутствуют детали. При уменьшении значений m точность аппроксимации повышается.

В отличии от алгоритма Малла, данный алгоритм позволяет получать например, для одномерного сигнала длительности 512 отсчетов_{, не 9 уровней декомпозиции, а гораздо больше. А для изображения размером 512х512 пикселей в алгоритме Малла так же получается 9 уровней декомпозиции. Каждый уровень разложения меньше предыдущего в 4 раза, то есть размеры изображений уменьшаются, стремясь к одному пикселю. В данном алгоритме, все изображения различных уровней декомпозиции имеют одинаковые размеры и количество уровней разложения может быть гораздо больше 9 для изображения размером 512х512 пикселей. Так же, в отличии от алгоритма Малла, данный алгоритм позволяет разложить изображение не только по строкам и по столбцам, а все изображение в целом, то есть считываются все точки изображения пилообразной разверткой по горизонтали и по вертикали. С формальной точки зрения для данного алгоритма, кратномасштабный анализ изображения не кратно 2 как в алгоритме Малла, а меньше 2. В зависимости от количества разложений, кратность x можно найти из условия}

_,

_{где k – количество декомпозиций,}

_{- количество точек в столбце или в строке, если декомпозиция по строкам и столбцам или общее количество пикселей в изображении, если декомпозиция для изображения в целом. При k > m кратность будет меньше 2. Теоретически количество декомпозиций может быть равно N/2. На практике столько разложений не нужно, так как при разложении многие изображения будут незначительно отличаться от предыдущих, что неразличимы глазом. На рис. 1 представлен кратномасштабный анализ изображения. Здесь изображение разложено на 72 декомпозиции. В верхней части рис. 1 – самая грубая аппроксимация изображения, в середине – более точная, а в нижней части – разрешение наиболее большое. Все изображения находящиеся рядом друг с другом отличаются друг от друга не на много, но различимы глазом. Поэтому при быстрой смене изображений возникает ощущение, как будто изображение появляется из пустоты. Каждое изображение можно сохранить в файле и из них можно создать микрофильм в avi формате.}

Рис. 1. Кадры из микрофильма

1. Дремин И.Л. Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН. 2001. Т. 171. № 5. С. 465–501.

2. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования М.: Сайнс-Пресс, 2003. 79 с.

3. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков М.: Физматлит, 2005. 616 с.