Физика /1.Теоретическая физика

Калакова Г.К.,

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова, Казахстан;

к.ф-м.н. Кравцов В.М.,

г.Санкт-Петербург, Россия;

к.ф-м.н Калаков Б.А.,

Костанайский государственный педагогический институт, Казахстан

Траектории первого и второго рода. Сопутствующие траектории

Примеры замкнутых бильярдных траекторий в многоугольниках показывают, что их вид зависит от числа множителей – осевых симметрий, образующих соответствующую изометрию. Число указанных осевых симметрий совпадает с числом вершин замкнутой бильярдной траектории. При этом чётность или нечётность числа вершин замкнутой бильярдной траектории является существенной её характеристикой.

Пусть изометрия для замкнутой бильярдной траектории в некотором многоугольнике с числом сторон имеет вид

, (1)

где – осевые симметрии относительно сторон многоугольника. С помощью индексов определяющих номера сторон многоугольника, введено соответствие осевых симметрий сторонам. Скажем, выражение означает симметрию относительно стороны с номером, равным значению индекса. Индексы имеют значения из набора чисел ,,...,.. Некоторые значения из указанного набора могут отсутствовать в выражении (1), некоторые – могут встретиться более одного раза. Число множителей в изометрии равно числу звеньев (вершин) бильярдной траектории.

Определенному звену замкнутой бильярдной траектории соответствует изометрия с определенной последовательностью значений индексов . Указанное звено траектории лежит на прямой, инвариантной относительно изометрии.

Для других звеньев траектории соответствующая изометрия представляет произведение (композицию) симметрий изометрии посредством циклической перестановки множителей . Изометрия , обратная изометрии , соответствует обходу траектории в обратном направлении.

Соответствующий изометрии вектор параллельного переноса имеет абсолютное значение, равное длине бильярдной траектории.

Если число симметрий в выражении (1) чётно, то есть изометрия (1) является параллельным переносом, и многоугольник имеет соответствующую этой изометрии бильярдную траекторию, то она не единственна. Таких траекторий в многоугольнике бесконечно много и они “параллельны”. Такие траектории будем называть траекториями первого рода.

Если же число симметрий в выражении (1) нечётно, то есть изометрия (1) является скользящей симметрией, то соответствующая замкнутая траектория в заданном многоугольнике (если она существует) единственна. Такие траектории будем называть траекториями второго рода. Если многоугольник имеет замкнутую бильярдную траекторию второго рода, то вместе с ней он имеет бесконечно много “параллельных” ей траекторий первого рода. Эти траектории будем называть траекториями первого рода, сопутствующими траектории второго рода. При рассмотрении траекторий в виде вписанных многоугольников такие траектории мы называли траекториями с двумя обходами сторон заданного многоугольника. Эти траектории соответствуют квадрату изометрии .

Обоснование утверждения о существовании таких траекторий проводится аналогично тому, как это делалось в случае траекторий в виде вписанных многоугольников в многоугольниках с нечётным числом сторон. Опишем подробнее появление траекторий первого рода, сопутствующих траектории второго рода.

Пусть звеньев траектории второго рода лежат на прямых . Прямые удовлетворяют соотношениям типа

,

Пусть теперь – прямая, параллельная , а – прямая, симметричная ей относительно прямой. Так как есть преобразование скользящей симметрии относительно прямой, то связь между и выразится равенством:

.

Отсюда, очевидно, имеем также соответствия:

,

Прямые , связанные симметриями относительно сторон исходного многоугольника, образуют бильярдные траектории первого рода с числом звеньев, равным . Выбирая прямые и на различном (но возможном) расстоянии от прямой , можно получить бесчисленное множество “параллельных” траекторий первого рода. Ясно, что длина такой траектории в два раза больше длины исходной траектории второго рода.

Разделение замкнутых бильярдных траекторий на два рода в зависимости от чётности или нечётности числа симметрий, образующих соответствующую изометрию, носит общий характер. Любой замкнутой бильярдной траектории в многоугольнике (в зависимости от чётности или нечётности числа её вершин) соответствует одно из двух преобразований – либо параллельный перенос, либо скользящая симметрия. Подчеркнём, что множество траекторий, описываемых определённой изометрией I рода (преобразованием параллельного переноса) имеет мощность континуума, в то время как всякая траектория, описываемая изометрией II рода (скользящей симметрией) в заданном многоугольнике единственна.