Физика/ 1. Теоретическая физика./ Теоретическая механика.

К. физ.-мат. наук Севрюков П.Ф.

Ставропольский государственный педагогический институт, Россия.

Введение функций наклона в возмущённой задаче Баррара.

 

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

,                                           (1)

где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

,                                        (2)

где sinφ=. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию

,                                             (3)

U=W+R.                                                   (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [3]

В сферических координатах r, φ, λ решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид

                                                      (5)

                                                   (6)

             (7)

где

,                                                (8)

,                                                  (9)

,                                                               (10)

,           (11)

,                                                                  (12)

.                                               (13)

 - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны соответственно

, ,   .

В формулах (5)-(13) а, e, i, Ω, v, ω являются аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Выражение (6) с учётом (10) и (11), а также разложения в ряд

                    (14)

с точностью до ɛ2 даёт

sinφ=sini∙cosƟ,                                          (15)

где

Ɵ=v+ω.                                                     (16)

Запишем пертурбационную функцию R в виде

,                               (17)

где для сокращения записи обозначено s=sini.

Введём функции наклона i по формуле

,                             (18)

тогда

.                                    (19)

При вычислении интеграла (18) воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра:

               (20)

где  - присоединённые функции Лежандра.

Положив в формуле (20) , , , будем иметь

,          (21)

где s=sini, α=cosi.

Умножим обе части равенства (21) на cosγθ и проинтегрируем по θ в пределах от 0 до 2π.

При γ>n

,                                     (22)

а при γ≤n

.                           (23)

Таким образом, функции наклона  выразились через присоединённые функции Лежандра:

.                                 (24)

Отметим, что функции наклона  могут обращаться в нуль. Этот факт вытекает из свойств присоединённых функций Лежандра. Поскольку

,

,                   .

Поэтому при нечётном п+γ

.

Вернёмся теперь к пертурбационной функции R и выразим её через функции наклона  и эксцентриситета , где

,                          (25)

.                                   (26)

 

Подставляя в формулу (17) выражения (19) и (26), получим

,                (27)

где положено j=k+γ.

Разложение пертурбационной функции вида (27) может быть с успехом использовано в задачах теории возмущений.

 

Библиографический список.

1.                 Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.

2.                 Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.

3.                 Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.

4.                 Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.

5.                 Севрюков П.Ф. Введение функций эксцентриситета в возмущённой задаче Баррара.// Materialy VII Miҿdzynarowej na-ujwi-praktycznej konferencji «Perpektywiczne opracowania sa nauka i technikami» -2012. Volume 17/ Chemia I chemiczne nechnologie. Fizyka: Przemyṡl. Nauka i studia. p. 52-57.