Аспирант Афанасов Е.Н.

Санкт–Петербургский государственный морской технический университет, Россия

О методах решения задач обтекания осесимметричных тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса

Технические науки/2. Механика

Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса) нелинейны, так как эти уравнения содержат так называемые конвективные нелинейные члены. Однако если считать число Рейнольдса малым, то конвективными членами можно пренебречь и тем самым линеаризировать эти уравнения [5].

Одним из общепринятых методов линеаризации является так называемое приближение Стокса, в котором предлагается полностью пренебречь конвективными членами. Для линеаризованных этим методом уравнений (Стокса), при решении осесимметричных задач, в некоторых простых случаях (обтекание сферы или эллипсоида) могут быть получены точные решения [3, 5].

На самом деле полное пренебрежение конвективными членами по сравнению с вязкими возможно лишь вблизи тела. На больших же расстояниях от тела такое пренебрежение оказывается необоснованным [3].

Для изучения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого тела следует учитывать конвективные члены. Так как на этих расстояниях скорость жидкости мало отличается от скорости набегающего потока, то можно частично учесть конвективные члены и получить так называемые уравнения Озеена [3].

Уравнения Озеена, вдали от тела, лучше аппроксимируют уравнения Навье-Стокса, чем приближение Стокса. В области, примыкающей к телу, такая аппроксимация конвективных членов является неудовлетворительной, однако для течений при малых числах Рейнольдса все конвективные члены малы по сравнению с вязкими членами независимо от способа их линеаризации. В силу этого уравнения Озеена можно использовать и вблизи тела. В ряде случаев с помощью приближения Озеена получены результаты лучше согласующиеся с экспериментом, чем с помощью уравнений Стокса [6].

В работе предлагается новый метод решения осесимметричных задач обтекания основанный на линеаризации уравнений Навье-Стокса на «фоне» поля скоростей идеальной жидкости, обтекающей тело. Уравнения задачи при таком способе линеаризации оказываются линейными с переменными коэффициентами.

Показано, что задачу можно сформулировать в виде уравнений для завихренности, составляющих скорости и давления.

Уравнения для завихренности и скоростей образуют замкнутую систему, которую приходится решать методом последовательных приближений, поскольку граничное условие для завихренности на контуре отсутствует.

Если завихренность определена, то можно найти давление.

При построении численного метода применен переход к новым независимым координатам – потенциалу и функции тока осесимметричного обтекания контура идеальной жидкостью. В таких координатах область решения всегда представляет собой внешность некоторого отрезка, что облегчает построение разностной схемы аппроксимирующей поставленную краевую задачу [1, 2].

Такой подход при решении осесимметричных задач можно перенести и на уравнения Озеена. При этом задача также формулируется в виде уравнений для завихренности, составляющих скорости и давления, причем численный алгоритм решения этих уравнений аналогичен упомянутой выше разностной схеме.

Численный метод решения осесимметричных задач рассматривается на примере задачи об обтекании сферы равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для этой задачи имеются экспериментальные данные и построены решения в рамках теорий Стокса и Озеена [2, 5].

Целью расчетов является вычисление коэффициента сопротивления.

Результаты расчета коэффициента сопротивления для задачи об обтекании сферы на основе предложенных методов сравниваются с экспериментальными данными и с теоретическими результатами Стокса и Озеена.

Показано, что расчет коэффициента сопротивления для задачи об обтекании сферы по предлагаемому в работе методу дает хорошее соответствие с экспериментальными данными и при этом область применимости предложенной теории существенно шире, чем область применения теорий Стокса и Озеена.

Литература:

1. Афанасов Е.Н., Фишкина И.Н. Метод решения осесимметричных задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса, стр. 116/ Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012): межд. конф.; Севастополь, 10-14 сентября 2012 г./ отв. ред. О.В. Анашкин; Таврический нац. ун-т имени В.И. Вернадского. – Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. – 201 с.

2. Кадыров С.Г., Афанасов Е.Н. Об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса. Труды Крыловского государственного научного центра, 2013, Вып. 73 (357), стр. 165 – 172.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. – Издание 5-е, стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 г – Т.VI. Гидродинамика. – 736 с.

4. Новожилов В.В. Об использовании потенциальных решений в теории вязкой жидкости. ДАН СССР. , 1986 г., Т. 290, №6 с 1320-1323.

5. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. – Москва: ГИТТЛ., 1955. – 519 с.

6. Шкадов В. Я., Запрянов З. Д. Течения вязкой жидкости. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984 г. – 200 с.