УДК 517.946

Общая краевая задача для уравнения третьего

порядка с разрывными коэффициентами.

Балкизов Ж.А. (г. Нальчик, КБГУ)

Рассматривается уравнение

(1)

где функция Хевисайда, , в конечной области плоскости переменных , ограниченной при отрезками прямых соответственно, и характеристиками и уравнения (1) при , выходящими из точек и .

Обозначим , , интервал прямой , .

Краевые задачи для уравнения (1) при рассматривались в работах [1] – [4]. Уравнение (1) при изучались в работах [5] – [7]. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения (1) при были исследованы в работе [8].

Определение. Под регулярным решением уравнения (1) в области будем понимать решение из класса

.

Задача. Найти регулярное в области решение уравнения (1), непрерывное в , удовлетворяющее краевым условиям

(2)

(3)

Справедлива следующая теорема.

Теорема. В области не может существовать более одного решения задачи (1) – (3), если выполнены следующие условия на коэффициенты , и :

,

где .

Единственность решения поставленной задачи доказано методом интегралов энергии. Вопрос существования решения эквивалентно редуцировано к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ядром , имеющим интегрируемую особенность и с непрерывной на правой частью. Безусловная и однозначная разрешимость полученного интегрального уравнения следует из единственности решения. После того как из интегрального уравнения найдена искомая функция функцию легко можно найти из соответствующих функциональных соотношений. Тогда в области решение задачи Коши определяется по известной формуле, а в области приходим к задаче (1), (2) и , исследованной в работе [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно – составного типов. Ташкент: ФАН. – 1979. – 238 с.

2. Kattabriga L. Un problema al kontorno per una equatione parabolic di ordine dispari, An Schola norm. Super Pisa Sci fis. e mat., v.13, №2, 1959.

3. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками, сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». – Ташкент: ФАН, 1976 г.

4. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. // Дифференц. уравнения. 1981 г. – Т. 17, №1. – с. 3 – 12.

5. Gellerstedt S. Sur un problems aux limits pour une equation lineaire aux derives partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. – Uppsala, 1935. – 92 p.

6. Бицадзе А.В. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1959. – 164 с.

7. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Наука, 1970. – 295с.

8. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части // Вестник СамГТУ, серия «Физ. – мат. науки», №2 (17) – 2008 г. – с. 21 – 28.