К.т.н. Игнатьев А.В., Габова В.В.

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Расчет стержневых систем,

содержащих элементы с резко различными жесткостями по МКЭ в смешанной форме

Одним из основных недостатков в методе конечных элементов в перемещениях является учет смещения конечного элемента как жесткого целого. При таких смещениях не происходит деформирование конечного элемента и энергия его деформации равна нулю. Однако эти смещения входят в общую величину узловых перемещений разрешающей системы уравнений и их доля может быть очень большой в сравнении с перемещениями, вызывающими деформации конечного элемента. Особенно заметно это проявляется при наличии в конструкции элементов повышенной жесткости.

В этом случае матрицу жесткости системы приходится составлять с очень большой степенью точности, с большим числом значащих цифр. Небольшая погрешность в округлении при вычислении элементов матрицы жесткости или обращении этой матрицы может полностью исказить решение уравнения и дать неправильный результат.

В линейной алгебре такие матрицы называются плохообусловленными.

Для преодоления этой проблемы используются различные приемы: подбор специальных аппроксимирующих функций для смещений конечного элемента [1], предобуславливание разрешающей системы уравнений [3], многосеточные методы [1] и т.д..

При расчете стержневых систем по методу конечных элементов в смешанной форме эта проблема не возникает.

Для иллюстрации рассмотрим расчет простейшей системы, состоящей из двух балок с различной изгибной жесткостью [2, с. 273] (рис.3.5), т.е. или , где .

Примем для неё следующие исходные данные:

размеры прямоугольного сечения балки -

Рис. 1

Схема нумерации узлов и элементов приведена на рис. 2, а. Основная система смешанного метода представлена на рис. 2, б.

а

б

в

Рис. 2

Система разрешающих уравнений метода конечных элементов в смешанной форме для данного случая имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

Здесь , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Решение этой системы уравнений при любых значениях является устойчивым, так как матрица её коэффициентов хорошо обусловленная.

В таблице 1 приведены перемещения балки (рис. 1) для различных вариантов соотношения жесткостей.

На рис. 2, в представлена эпюра изгибающих моментов рассматриваемой балки.

Таблица 1
k1,2 w
	-0,08428	-0,08428	-0,08428	-0,08428	-0,08428	-0,08428
	-5,2253	-0,48461	-0,01053	0,04209	0,04213	0,04214
	-20,9857	-2,02272	-0,12642	0,08407	0,08426	0,08427
	-13,1266	-1,27473	-0,08955	0,04201	0,04213	0,04213

* результаты приведены в (мм).

Попытка произвести расчет с использованием МКЭ в форме метода перемещений при значении >10⁶ приводит к сбою из–за плохой обусловленности разрешающей системы уравнений.

Таким образом, показано, что использование МКЭ в смешанной форме позволяет производить расчет стержневых систем, содержащих элементы с резко различными жесткостями без дополнительных вычислительных затрат.

Литература:

1. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев : Изд-во «Сталь», 2002. 197 с.

2. Строительная механика. Стержневые системы / А. Ф. Смирнов [и др.]. М. : Стройиздат, 1984. 512 с.

3. Фиалко С. Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики : дис. … д-ра техн. наук / Киевский национ. ун-т стр-ва и архитектуры. Киев, 2003. 283 с.