Ковальчук А.А., к.ф.-м.н. Ситник С.М.

Воронежский институт МВД России, Россия

ОБ ОБОБЩЕНИЯХ НЕРАВЕНСТВА В. ЯНГА, ПОРОЖДАЕМЫХ ПЕРЕСТАНОВКАМИ ЧИСЕЛ.

      Оценка произведений нескольких величин в терминах суммы некоторых других величин является известной математической задачей. Подобные неравенства играют существенную роль в самой математике и многих её приложениях: математической экономике, вариационном исчислении, теории оптимального управления, дифференциальных уравнениях, теории сигналов, оценивании сложности прикладных алгоритмов и т.д. [1]. Примером таких оценок является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Другим классическим примером является доказанное в      1912 г. английским математиком Вильямом Янгом знаменитое неравенство [2], названное впоследствии его именем. Для двух чисел в простейшем случае неравенство Янга записывается в виде

    при условиях    .             (1)                                                    

     Отметим, что в русскоязычной литературе установилось искажённое написание и произношение фамилии Вильяма Янга – «Юнг», что, по-видимому, было первоначально вызвано традицией онемечивания иностранных фамилий при русском написании в 1920 – 1940 гг. (см., например, [3-4]). Также неправильно пишется и произносится его фамилия во втором из доказанных им знаменитом неравенстве для свёрток (Хаусдорфа – «Юнга» вместо Хаусдорфа - Янга). Не повезло в этом отношении и знаменитому английскому физику Томасу Янгу (закон и модуль упругости «Юнга» вместо Янга), английскому алгебраисту Альфреду Янгу (диаграммы «Юнга» вместо Янга). Большинство своих работ Вильям Янг написал в указанном явно или нет соавторстве со своей женой, ученицей Клейна и известным математиком Грейс Эмили Чисхольм, в замужестве - Грейс Чисхольм Янг. Её фамилия также искажается в названии известной теоремы из теории функций (теорема Данжуа – «Юнг» - Сакса вместо Данжуа –Янг - Сакса). Сын Вильяма Янга был также известным математиком – Лоуренс Янг, который знаменит своими работами по вариационному исчислению и теории оптимального управления, особенно для случаев плохих функций, областей и кривых. Он обобщил неравенство своего отца для чисел на случай пары прямого и обратного преобразований Лежандра для функций, а также является соавтором знаменитой теоремы – критерия идемпотентности преобразования Лежандра, оба этих результата являются краеугольными камнями современного выпуклого анализа, но в их названиях та же ошибка (преобразование Лежандра - «Юнга» вместо Лежандра – Янга, неравенство и теорема «Юнга» - Фенхеля – Моро вместо Янга - Фенхеля – Моро). Единственный правильный случай написания фамилии Янг – это перевод  известной монографии  Лоуренса Янга [5]. Известная грузинская переводчица технической литературы и  монографии [5] Медея Гавриловна Элуашвили аккуратно перевела фамилию Янг, нарушив некрасивую традицию искажать фамилии этих известных математиков. К сожалению, так часто бывает, что сами носители языка относятся к нему с пренебрежением, а изучившие этот язык как не единственный или как неродной относятся к нему с большей аккуратностью, точностью и уважением.

     Соотношение (1) геометрически выражает неравенство между площадями криволинейных трапеций, образованных графиками пары взаимно обратных функций. Аналитические доказательства, не использующие геометрических рассуждений, приведены, например, в [3–4, 6]. Как и все классические неравенства, неравенство Янга может быть сформулировано с использованием средних значений. Тогда оно превращается в другое классическое неравенство: весовое среднее геометрическое не превосходит весового среднего арифметического

        Можно поменять в (1) величины местами, тогда получится второе неравенство Янга, на что до работ С.М. Ситника [7-9],[13-14] не обращали внимания:

                                            .                                                  (2)

Отсюда возникает задача о сравнении неравенств (1) и (2), то есть об отыскании минимума из правых частей (1) и (2) при всех неотрицательных значениях величин.

       Приведём численные примеры, которые показывают, что действительно между правыми частями (1) и (2) может существовать достаточно большой разброс.

       Пример 1: x=5, y=130, p=4, q=4/3;

xy = 650,       .

В этом случае неравенство (1) лучше (на пять порядков!).

Пример 2: x=0.2, y=0.5, p=4, q=4/3;

            xy = 0.1,     

В этом случае неравенство (2) лучше (примерно в три раза).

Два приведённых примера иллюстрируют два типичных случая.

Без ограничения общности далее будем предполагать, что выполнены условия                                                       (3)                                                                               

Теорема 1 [см. 7-9, 13-14]. Пусть выполнены условия (3). Тогда

1.     Если  то оценка (1) лучше, чем (2), то есть выполнены неравенства     (4)                                               

2.  Если  то оценка (2) лучше, чем (1), то есть  выполнены неравенства                          (5)

 3. Если  то при данном x существует единственное критическое значение y=yкр, которое является решением трансцендентного уравнения

                                                                          (6)

В этом случае при кр оценка (2) лучше, чем (1), то есть выполнены неравенства (5), а при кр оценка (1) лучше, чем (2), то есть выполнены неравенства (4).

Теперь приведём численный пример на третий случай в теореме 1.

Пример 3: x=0.5, p=4, q=4/3. Расчёт даёт

Пусть x=0.5, y=1.3<yкр;  xy =0.65,

   

Как и следует из теоремы 1, в этом случае лучше оценка (2).

Пусть x=0.5, y=1.4>yкр;  xy=0.7,

 

Как и следует из теоремы 1, в этом случае лучше оценка (1).

Приведем метод быстрого численного отыскания величины yкр. Вводя функцию

рассмотрим корень уравнения Z(y)=0, который обозначим через y0. Очевидно, что

, 1<yкр<y0  (y0=1 при p=q=2).

Величину y0 можно оценить с использованием неравенств Радо (см. [6, 13-14]) для среднего логарифмического:

.                                     (7)

Теорема 2 [см. 8]. Итерационная последовательность метода Ньютона

,                                                          (8)       

монотонно убывая,  сходится к величине  yкр при условии p>2.

Пример 4. Пусть, как и в предыдущем примере, x=0.5, y=1.3, p=4, q=4/3,   Для величины начального приближения

                            

неравенства (7) записываются численно так:

Итерации (8) последовательно дают

y1=1.38689, y2=1.35664, y3=1.35486, y4=1.35485.

В пределах используемой точности вычислений четвертая итерация y4 совпадает с величиной yкр из примера 3.

Отметим высокую точность оценки (7) для yкр снизу, характерную для неравенств Тибора Радо.

Теперь наметим некоторые возможные приложения и обобщения полученных результатов.

1. Можно рассмотреть случай неравенств Янга (теперь мы знаем, что их два!) с парой произвольных взаимно дополнительных функций Янга

,       ,                                                 (9)

где функция   непрерывна и неотрицательна при , , функция  также непрерывна и неотрицательна при , возрастает и выпуклая [10-11]. Существует и более простая формулировка этого неравенства в терминах одной функции и её обратной. В этом случае пара функций Янга связана друг с другом двойственными формулами преобразования Лежандра-Янга-Фенхеля [13-14]

, .

Оказывается, что и в этой более общей формулировке можно полностью повторить результаты,  полученные выше для простейшего случая. Если выразить одну из функций Янга по формуле , то роль пограничного условия  заменит условие  .

2. Рассмотреть уточнения с другими конкретными функциями Янга [6, 10, 11].

3. По обычной схеме [3-4,6] можно из полученного уточнённого неравенства Янга вывести уточнённое неравенство Гёльдера. Результаты получаются как для дискретного, так и для интегрального случаев.

4. Более подробно изучить итерационную схему (8) и другие методы решения трансцендентного уравнения (6).

5.  На случай неравенств Янга и Гёльдера перенести разработанный С.М. Ситником метод уточнения неравенств Коши - Буняковского с помощью произвольных средних значений [12-17].

6. Проведены расчёты и найдены наилучшие возможные оценки для случая неравенства Янга с тремя числами. В этом случае мы уже получаем целых шесть (а для n чисел - всего n!) неравенств Янга вида:

,   .

Этот случай намного сложнее предыдущего. Разберём его более подробно.

Рассмотрим неравенство Янга для трёх переменных , , . Причём в данном случае число возможных вариантов записи будет равно 3! = 6. Выпишем их все:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

Для всех указанных неравенств будут выполняться следующие условия:

·       , , ;

·      

·       ,

Теперь с учётом вышеперечисленных условий примем  Также обозначим, что для всех неравенств возможны следующие случаи:

1.    

2.    

3.    

4.    

Для первого случая положим  Произведя подстановку чисел и выполнив соответствующий расчёт, получим:

1.                               (1)                        

2.                               (3)

3.                               (5)

4.                               (2)

5.                                   (6)

6.                                   (4)

Нумерация справа произведена от наименьшего из шести значений до наибольшего в этом примере, как и в последующих.

Для второго случая положим Отсюда:

1.                                                        (6)

2.                                                            (4)

3.                                                            (3)

4.                                                        (5)

5.                                                            (1)

6.                                                            (2)   

Для третьего случая положим Отсюда:

1.                                         (5)

2.                                    (3)

3.                                    (1)

4.                                             (6)

5.                                         (2)

6.                                         (4)

Для четвёртого случая положим Отсюда:

1.                                                          (6)

2.                                                            (4)

3.                                                            (3)

4.                                                          (5)

5.                                                     (1)

6.                                                     (2)

 

На основании анализа численных расчётов, часть из которых приведена в качестве иллюстрации возможных случаев выше, можно сделать следующие общие выводы. Они доказаны как теоремы.

Теорема 3. Рассмотрим шесть вариантов неравенства Янга для трёх чисел. Пусть выполнены сформулированные выше естественные ограничения на числа и параметры. При условии, что выполнены неравенства 0<x<y<z<1 , наилучшим (в смысле с наименьшей правой частью) из шести неравенств Янга будет то, в котором параметры p,q,r упорядочены по возрастанию, а наихудшим (в смысле с наибольшей правой частью) – по убыванию.

Теорема 4. Рассмотрим шесть вариантов неравенства Янга для трёх чисел. Пусть выполнены сформулированные выше естественные ограничения на числа и параметры. При условии, что выполнены неравенства 1<x<y<z, наилучшим (в смысле с наименьшей правой частью) из шести неравенств Янга будет то, в котором параметры p,q,r упорядочены по убыванию, а наихудшим (в смысле с наибольшей правой частью) – по возрастанию.

Теоремы 3,4 без особого труда переносятся на случай любого количества чисел.

Эти результаты охватывают только крайние случаи при упорядочивании параметров неравенства Янга. Разбор промежуточных случаев упорядочивания является намного более сложным.

Рассмотрен также случай неравенства Янга для четырёх чисел. В этом случае получается набор из 24 неравенств, вместо единственного, которое рассматривалось ранее. Если разбирать случаи расположения четырёх чисел относительно единицы, то это даст 5 различных случаев, всего получаются 120 вариантов. Проведены численные расчёты для всех этих случаев. Для большего количества параметров перебор теряет смысл, нужны новые идеи для упорядочивания всей совокупности неравенств.

Как было отмечено выше, крайние случаи «лучшего» и «худшего» из всего семейства неравенств находятся просто. Вместе с тем основное задачей является упорядочивание остального массива неравенств. Различные случаи разбивают пространство на области в зависимости от размерности при помощи граничных кривых, поверхностей или многообразий, при переходе через которые изменяются соотношения между различными правыми частями неравенства Янга. Однако полное описание таких разграничивающих областей получено только для случая двух чисел, оно пока неизвестно даже для 3 или 4 чисел.  

Литература:

1.                   Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения.—М.: Мир, 1983.—575 c. (дополненное современное издание: Marshall Albert W., Olkin Ingram,  Barry C. Arnold. Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications. Second Edition. Springer, 2011, 940 P.)

2.                Young W. H. On classes of summable functions and their Fourier series //Proc. Roy. Soc. London (A).—1912.—№ 87.—P. 225–229.

3.                Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства/ Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтлвуд,  Г.М. Полиа/ ИЛ, 1948 - 456 с.

4.                Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства/ Э. Беккенбах, Р. Беллман /М., Мир, 1965 - 276 с.

5.                Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 С.

6.                Mitrinovic D.S., Pecaric J.E., Fink A.M. Classical and new inequalities in Analysis/ D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric, A.M. Fink/ Kluwer, 1993 - 740 p.

7.                Анциферова Г.А., Ситник С.М. О некоторых свойствах выпуклых функций / Г.А. Анциферова, С.М. Ситник / Тезисы докл. межд. конф., посвящённой 75-летию чл.-корр. РАН, проф. Кудрявцева Л.Д. - М, 1998, c. 269.

8.                Анциферова Г.А., Ситник С.М. Некоторые обобщения неравенства Юнга/ Г.А. Анциферова, С.М. Ситник / Вестник Воронежского института МВД России. Воронеж, № 2(4), 1999, c. 161-164.

9.                 Ситник С.М. Сколько неравенств заключено в неравенстве Юнга? Труды Всероссийской заочной научно--практической конференции "Актуальные проблемы обучения математике", посвящённой 155-летию со дня рождения Андрея Петровича Киселёва. Орёл, Орловский государственный университет, 2007. С. 464-469.

10.            Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича/ М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий/ М., Физматгиз, 1958, 271 с.

11.            Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной/ И.П. Натансон / М., Наука, 1974, 480 с.

12.            Sitnik S.M. Refinements of the Bunyakovskii – Schwartz inequalities with applications to special functions estimates / S.M. Sitnik/ Conference in Mathematical Analysis and Applications in Honour of Lars Inge Hedberg's 60th Birthday. Linkoping University, Sweden, 1996, p. 97.

13.             Sitnik S.M. Generalized Young and Cauchy--Bunyakowsky Inequalities with  Applications: a survey/ S.M. Sitnik / http://arxiv.org/abs/1012.3864, 51 p.

14.            Ситник С.М. Уточнения и обобщения классических неравенств/ С.М. Ситник / В кн.: Итоги науки. Южный федеральный округ. Серия "Математический форум". Том 3. Исследования по математическому анализу. Ред. Ю. Ф. Коробейник, А. Г. Кусраев. Южный математический институт ВНЦ  РАН и РСО Алания, Владикавказ: 2009, c. 221 - 266.

15.            Ситник С.М. Обобщения неравенств Коши-Буняковского методом средних значений и их приложения/ С.М. Ситник / Чернозёмный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика". Специальный выпуск: Избранные труды участников Воронежского математического семинара по анализу, теории функций и дифференциальным уравнениям. (Под ред: Минин Л.А., Новиков И.Я., Родин В.А., Ситник С.М.). Воронеж, № 1 (1), 2005, c. 3 - 42.

16.            Ситник С.М. Некоторые приложения уточнений неравенства Коши-Буняковского/ С.М. Ситник / Вестник Самарской государственной экономической академии. Самара, № 1(8),  2002, c. 302 - 313.

17.            Ситник С.М. Уточнение интегрального неравенства Коши-Буняковского/ С.М. Ситник / Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". Самара, 2000, выпуск 9, c. 37 - 45.

18.            Ковальчук А.А. Об обобщении неравенства Янга для трёх чисел/ А.А.  Ковальчук / Сборник материалов Всероссийской научно - практической    конференции "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем". Воронеж, Воронежский институт МВД, 2011, с. 117-118.