Мельник В.М., Карачун В.В.

Національний технічний університет України «КПІ»

РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ОБОЛОНКИ В НАПРЯМКУ ДОВІЛЬНОГО МЕРИДІАНУ

Переміщення пружної поверхні вздовж лінії меридіану. Для цього спочатку виконаємо операції диференціювання та множення доданків рівняння динаміки, а потім – здійснимо відповідні перетворення. Отже, маємо:

(1)

Рівняння (1) описує пружні переміщення елемента бічної поверхні оболонки в напрямку її протяжності, тобто вздовж осі Oz. Доданки в лівій частині рівняння, що містять прогини W в радіальному напрямку, а також їхні похідні за параметрами z і , характеризують ступінь їхнього впливу на пружні переміщення вздовж осі Oz. Доданки, які містять дотичні переміщення та їхні похідні, в свою чергу, встановлюють ступінь свого впливу на поздовжні переміщення поверхні оболонки.

До цього додати співвідношення для обчислення величин А₁, А₂, і :

(2)

Якщо рівняння (1) структурно подати у вигляді

(3)

тоді стане очевидним, що для циліндричної оболонки що означає відсутність впливу цих доданків на динаміку поверхні. Крім того, із співвідношень (2) випливає, що для оболонок обертання за умов та , величина також буде малою. Можна було б вилучити з розгляду і доданки через їх малі значення. Але тут потрібно встановити, які з доданків, що містять згинальні деформації та переміщення, впливають на поздовжні, та залишити їх у рівнянні руху, а іншими знехтувати.

Отже, доданки та вважатимемо основними, а інші – другорядними. Головним коефіцієнтом в них можна вважати на який потім будемо множити все рівняння. Ці припущення дають можливість рівняння (1) спростити до вигляду

(4)

Помножимо обидві його частини на величину

(5)

де

Тоді рівняння (1) набуде вигляду

(6)

Тут позначено:

- радіус торця оболонки; - підйом лінії меридіану в середньому шпангоуті.

Рівнянням (6) зручно користуватися при вирішенні задач оптимізації геометрії поверхні вздовж лінії меридіану за умови, що перпендикулярно до поздовжньої осі має місце носій кінетичного моменту.