Магистрант Елешова-Турсунова А.Е.

«Тұран-Астана» университеті, Қазақстан

Майысқақ пластинаны есептеу

Тік бұрышты пластинаны кооррдинаттық жүйеде қарастырайық. Оның кернеулік және деформациялық күйлерін анықтау үшін белгілі классикалық (техникалық) теорияны қолданамыз. Бұл теорияны айнымалыларды бөлу әдісін қолдана отырып былайша жүзеге асырамыз:

Майысу және кернеу функцияларын қабылдап аламыз.

(1)

мұнда - үлкен майысу; - момент; - анықталатын өлшемсіз функциялар; - өлшемсіз координаталар; - координаттық өстер бойындағы пластинаның өлшемдері; - таңдалынып алынатын өлшемсіз функциялар.

Мембраналық күштер және моменттер мен көлденең күштерді анықтаймыз.

(2)

§ Мембраналық деформациялар мен жылжулар табылады

(3)

мұнда - анықталатын тұрақты белгісіздер; теңдеулер шешіледі:

a) тепе-теңдік

(4)

мұнда - сыртқы жүктеменің өзгеру заңдылығы;

b) үйлесімділік

(5)

мұнда - цилиндрлік қатаңдық; - пластинаның қалыңдылығы; - пластинаның материалының серпімділік модулі мен Пуассон коэффициенті;

шекаралық шарттар () жағындағы қанағаттандырылады:

c) қозғалмайтын топсалы байланыс болса

(6)

d) қозғалатын топсалы байланыс болса

(7)

e) қатты сырғымалы бекініс болғанда

(8)

f) қатты сырғымайтын бекініс болса

(9)

g) бекініс болмаса (бос болса)

(10)

Сөйтіп, кез келген майысқақ пластинаның кернеулік және деформациялық күйлері функциялар арқылы анықталады. Олар теңдеулерді (4), (5) шешу және шекаралық шарттарды (6) – (10) қанағаттандыру арқылы анықталады. Осы теңдеулерді (сызықсыз) шешу көп математикалық проблеммалар туғызады. Айнымалыларды бөлу әдісі бойынша есептің жуық шешімін полином түрінде оңай алуға болады. Осы әдісті қолданып майысқақ пластинаны жақтары қозғалатын топса арқылы бекінген бірқалыпты жүктеме әсеріне есептеп көрелік..

Шекаралық шарттарды қанағаттандыратын функцияларды таңдап аламыз да

(11)

негізгі функцияларды табамыз

(12)

Осы функцияларды (11), (12) қолданып негізгі теңдеулердің (4) және (5) операторларын анықтаймыз

(13)

,

,

Осы операторлардың (13) мәндері пластинаның центрінде () мынандай мәндер қабылдайды

(14)

Теңдеуге (5) нәтижені (14) енгізсек, онда параметр тең болады

Осы параметрді және операторлардың мәндерін (4)-ші теңдеуге енгізсек, онда болғанда келесі сызықсыз тәуелділік (қарқындылық пен үлкен майысу арасындағы) алынады

(15)

Бұл шешім (15) жуық болып табылады. Себебі негізгі текдеулер (4) және (5) тек қана пластинаның бір нүктесінде () ғана орындалады.

Енді осы есепті тригонометриялық функцияларды қолдану арқылы шығарып көрейік. Шекаралық шарттарды қанағаттандыратын функциялар мына түрлерде болады:

(16)

Осы функцияларды (16) ескере отырып негізгі теңдеулердің (4) және (5) операторларын табамыз:

(17)

Осы операторлардың (17) нүктедегі () мәндерін анықтап теңдеулерден (4) және (5)-тен табамыз:

(18)

мұнда - жүктеменің өлшемсіз қарқындылығы.

Егер болса, онда (18)-ден алынады

(19)

Нәтижеден (15) болғанда табылады

(20)

Осы нәтижелерді (19) және (20) бір-бірімен салыстырып тригонометриялық функцияларды қолданғанда кубтық майысудың алдындағы коэффициент және өлшемсіз қарқындылықтың аз болатынын көреміз.

Координаталар () интегралдардың шектері болғандықтан оларды таңдау есептің қойылымына тәуелді болмақ. Негізгі талап оларды қолданғанда болмауы керек.

Әдебиеттер:

1. Турсунов К.А. К расчету толстой пластины. Вестник КарГУ, серия математика, №1(33)/2004, с.65-68.

2. Турсунов К.А., Турсунов А.К. Основы расчета плоских элементов конструкций. - Караганда.: КарГУ, 2000. - 41с.

3. Турсунов К.А. Об одном методу расчета изгибаемой пластины. Вестник КарГУ, №3(27)/2002, с.14-21.