Математика/5. Математическое моделирование

Д.ф.-м.н. Соловьев С.В., К.т.н. Гринкруг Л.С.¹

Тихоокеанский государственный университет, Россия

1. Приамурский государственный университет, Россия

Моделирование теплообмена и магнитной

гидродинамики в жидком ядре Земли

Современная теория геомагнитного поля предполагает, что в жидком ядре Земли происходит непрерывное перемещение вещества. В настоящее время не вызывает сомнений, что тепловая или гравитационная конвекция в земном ядре является именно той причиной, которая приводит к созданию геомагнитного поля. Теория геомагнитного поля получила название гидромагнитного динамо (ГД) по аналогии с действием обычной динамо-машины с самовозбуждением. Математическая трактовка теории вихревого движения в ядре и возникновения в нем индукционных токов чрезвычайно затруднена и в общем виде до сих пор не получила своего решения [1], так как решение уравнений магнитной гидродинамики сопряжено с большими трудностями. Поэтому теория ГД, в основном, развивается путем исследования кинематических моделей, в которых скорость движения жидкости считается заданной, а определяется только магнитное поле.

В данной работе, в отличие от кинематических моделей гидромагнитного динамо, рассматривается конвективный теплообмен электропроводящей жидкости в сферическом слое, моделирующем жидкое ядро Земли. Исследовано влияние безразмерных критериев подобия на структуру течения и теплообмен жидкости в сферической прослойке. Рассматриваются совместно уравнения энергии - с учетом внутренних источников тепла и джоулевой диссипации; движения - с учетом магнитных, вязких и подъемных сил; индукции и неразрывности для скорости и магнитной индукции. Используется приближение Буссинеска. Ускорение свободного падения направлено к центру ядра.

Математическая постановка задачи в безразмерной форме описывается системой уравнений:

(1)

(2)

(3)

Постоянная величина J в (1), определяющая джоулеву диссипацию, принимает различные значения в зависимости от типа граничных условий (ГУ) для температуры. Задача решалась в переменных температура-вихрь-функция тока.

Для температуры задавались следующие граничные условия:

1. Температуры на Г_1,2 : ;

2. Подвод тепла на Г₁ и задание температуры на Г₂:

;

3. Задание температуры на Г₁ и теплового потока на Г₂:

(«+» - подвод тепла; «-» - отвод тепла).

. , ,

.

Для решения задачи использовался метод конечных элементов. Для аппроксимации рассчитываемых полей применялись билинейные конечные элементы. Дискретный аналог системы дифференциальных уравнений был получен с применением метода взвешенных невязок. Полученная система алгебраических уравнений решалась методом Зейделя с применением нижней релаксации. По времени использовалась неявная схема.

На рис. 1-4 приведены результаты стационарных расчетов для граничных температурных условий I рода полей температуры, функции тока, вихря, радиальной и меридиональной составляющей магнитной индукции; локальные числа Нуссельта.

Рис. 1 ( J= Q_v =0 )

Рис. 2 (J≠0, Q_v =0)

Gr = 10³; Re = 10 (Gr/Re² = 10); S = 10^-5; Re_m = 1; Pe = 10; r₂/r₁ = 2,5.

Рис. 3 (J= Q_v =0)

Рис. 4 (J≠0, Q_v =0)

Gr = 10⁴; Re = 10; Gr/Re² = 10²; S = 10^-5; Re_m = 1; Pe = 10

По предложенной математической модели были получены результаты, анализ которых позволил сделать следующие выводы:

- конвекция оказывает значительное влияние на магнитное поле ядра Земли;

- учет джоулевой диссипации приводит к изменению направления движения жидкости в конвективных ячейках на противоположное (магнитные полюса Земли изменяют свое местоположение на противоположное), что приводит к перестройке поля температуры в ядре. Аналогичный результат был отмечен в работе [1];

- изменение внутреннего источника тепла на сток также приводит к изменению направления движения жидкости в конвективных ячейках на противоположное.

- создан ППП, экранные формы которого приведены ниже

Литература

1.Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо /Пер. с англ. А. Г. Муслимова, Н. А. Силантьева; под ред. А. З. Доминова. - М.: Мир, 1984. - 314 с.