Наметбаев Г.Ш., Чернявская Н.П.,Туленбаев Ж.С.

Таразский государственный университет им.М.Х.Дулати, Казахстан

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ НА ПРИМЕРЕ СЕЙСМОГРАММ.

 

Значительная группа измерительных устройств преобразует измеряемую величину в пропорциональный аналоговый чаще всего  электрический сигнал. При анализе, исследовании или проектировании возникает необходимость математического описания подобных сигналов в виде функций. С подобной задачей авторы столкнулись при экспериментальном исследовании различных видов фундаментов на сейсмостойкость. Для определения параметров колебаний исследуемых фундаментов был использован гальванометрический способ регистрации. Этот способ, благодаря высокой точности и простоте осуществления многока­нальной записи, широко применяется в экспериментальной практике. В качестве первичного преобразователя использованы сейсмоприемники  C5G в комплекте с гальванометрами МО02 (смещение) и сейсмоприники 0СП-2М в комплекте с гальванометрами МОХ7 (ускорение).

Подбор гальванометров для измерения параметров колебаний был осуществлен согласно техническим характеристикам сейсмоприборов, запись осуществлялась на светолучевых осциллографах Н041 и Н044.2.

Для ступенчатого снижения величины электрического сигнала между сейсмоприемниками и гальванометрами были подключены шунтовые коробки Щ-1. Все приборы стандартные заводского изготовления. Получение достоверных результатов измерений связано с построением амплитудно-частотных характеристик каналов измерительного стенда. Аналитические методы построения их по паспортным параметрам приборов весьма трудоемки. В связи с этим характеристики виброизмерительных приборов стремятся определить экспериментально.

По результатам экспериментов были получены сейсмограммы, примеры которых приведены на рис.1. В ходе дальнейших исследовании, а именно определения оптимальных параметров исследуемых фундаментов, возникла необходимость математического описания этих сейсмограмм. Для этих целей был использован метод быстрого преобразования Фурье(БПФ).     Основная проблема, возникающая при практической реализации преобразования Фурье, заключена в большом количестве вычислительных операций, пропорциональном N2-колличеству дискретизации. Хотя еще задолго до появления компьютеров было предложено несколько эффективных вычислительных схем, позволяющих существенно сократить число вычислительных операций, настоящую революцию произвела публикация в 1965 году статьи Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey) c практическим алгоритмом быстрого (число операций Nlog2N) вычисления

                   Рисунок 1. Сейсмограмма.

После этого было разработано множество вариантов, усовершенствований и дополнений основной идеи, составивших класс алгоритмов, известных под названием быстрого преобразования Фурье. Основная идея БПФ - деление N-точечного ПФ на два и более ПФ меньшей длины, каждый из которых можно вычислить отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, с тем чтобы получить ПФ исходной N-точечной последовательности.
Представим дискретное преобразование Фурье (ПФ) в виде

,                                      (1)

где величина WN=exp(-j2/N) носит название поворачивающего множителя (здесь и далее в этом разделе период выборки T=1). Выделим из последовательности x[n] элементы с четными и нечетными номерами


      (2)

Но так как то
. Следовательно, (36) можно записать в виде

,                                (3)

где каждое из слагаемых является преобразованием длины N/2

               (4)

   Заметим, что последовательность (WN/2)nk периодична по k с периодом N/2. Поэтому, хотя номер k в выражении (3) принимает значения от 0 до N-1, каждая из сумм вычисляется для значений k от 0 до N/2-1. Можно оценить число комплексных операций умножения и сложения, необходимых для вычисления преобразования Фурье в соответствии с алгоритмом (3)-(4). Два N/2-точечных преобразования Фурье по формулам (4) предполагают выполнение 2(N/2)2 умножений и приблизительно столько же сложений. Объединение двух N/2-точечных преобразований по формуле (3) требует еще N умножений и N сложений. Следовательно, для вычисления преобразования Фурье для всех N значений k необходимо произвести по N+N2/2 умножений и сложений. В то же время прямое вычисление по формуле (1) требует по N2 умножений и сложений. Уже при N>2 выполняется неравенство N+N2/2 < N2  и, таким образом, вычисления по алгоритму (3)-(4) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (1). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

,                    (5)
                          (6)


   При этом, вследствие периодичности последовательности WnkN/4 по k с периодом N/4, суммы (6) необходимо вычислять только для значений k от 0 до N/4-1. Поэтому расчет последовательности X[k] по формулам (3), (4) и (6) требует, как нетрудно подсчитать, уже по 2N+N2/4 операций умножения и сложения.
   Следуя таким путем, объем вычислений X[k] можно все более и более уменьшать. После m=log2N разложений приходим к двухточечным преобразованиям Фурье вида

                                (7)

где "одноточечные преобразования" X1[k,p] представляют собой просто отсчеты сигнала x[n]:

X1[k,q] = x[q]/N, q=0,1,...,N-1.                                                   (8)
  

 В итоге можно записать алгоритм БПФ, получивший по понятным причинам название алгоритма с прореживанием по времени :

                          X2[k,p] = (x[p] + Wk2x[p+N/2]) / N,

где k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

                           X2N/M[k,p] =XN/M[k,p] + Wk2N/MXN/M[k,p+M/2],

где k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = XN[k] =XN/2[k,0] + WkNXN/2[k,1],                                 (9)

где k=0,1,...,N-1

   На каждом этапе вычислений производится по N комплексных умножений и сложений. А так как число разложений исходной последовательности на подпоследовательности половинной длины равно log2N, то полное число операций умножения-сложения в алгоритме БПФ равно Nlog2N. При больших N имеет место существенная экономия вычислительных операций по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Например, при    N = 210 = 1024 число операций уменьшается в 117 раз.
   Рассмотренный нами алгоритм БПФ с прореживанием по времени основан на вычислении преобразования Фурье путем формирования подпоследовательностей входной последовательности x[n]. Однако можно использовать также разложение на подпоследовательности преобразования Фурье X[k]. Алгоритм БПФ, основанный на этой процедуре, носит название алгоритма с прореживанием по частоте. Подробнее о быстром преобразовании Фурье можно прочитать, например, в [1,2]. Программная реализация БПФ есть практически во всех математических пакетах и библиотеках. Между тем, опыт показывает, что, при всей своей простоте, метод начинает вызывать некоторые вопросы, когда возникает необходимость не просто посмотреть наличие дискреток в сигнале, но и выяснить их абсолютные значения, т.е. нормализовать полученный результат. MATLAB позволяет не связываться с ручным удалением ненужных объектов, однако, при работе с более менее объемными массивами данных, имеет привычку капризничать и жаловаться на недостаток памяти. Для освобождения памяти используется процедура clear с указанием имени объекта, который необходимо удалить. [3] Использовав, стандартную программу БПФ из пакета MATLAB мы получили функцию, представляющую собой сумму синусоид и описывающую подобные сейсмограммы рис.1. Кроме того, мы определили частоты наиболее энергонесущие, т.е. частоты наиболее разрушительные.

1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1978.

2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990.

3. http://psi-logic.narod.ru/fft/fft.htm