И.А. Долгарев и А.И. Долгарев

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ РЕГУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

 

Регулярной евклидовой поверхности сопутствует два плоских поля – скалярное  и векторное , первое соответствует заданию поверхности явной функцией , второе соответствует заданию поверхности векторной функцией  = . Изучаются свойства поверхности и ее полей.

Установлено, что евклидово пространство, содержащее регулярные кривые, является неоднородным, [1]. Регулярная поверхность с точностью до положения определяется коэффициентами первой квадратичной формы, [2]. Компоненты полей  и  выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и определяют поверхность с точностью до положения.

 

1. Евклидова поверхность

            Всякая регулярная евклидова поверхность может быть задана явной функцией

(1)                                                  , ,

см. [3, с. 209 – 211]. Изучение регулярных евклидовых линий выявляет неоднородность евклидова пространства, [1]. В евклидовом пространстве существует 2-мерное направление, инвариантное в евклидовых движениях неоднородного пространства. Группа движений однородного евклидова пространства содержит в качестве собственной подгруппы группу движений неоднородного пространства, [4]. Наличие инвариантного 2-мерного направления в евклидовом пространстве  подтверждается и структурой пространства-времени. Время в пространстве-времени 1-мерно, пространство 3-мерно и евклидово. Анализ формул Лоренца приводит к заключению о неоднородности пространственной составляющей пространства-времени, [6, c. 198 – 201] и [7]. Предельным случаем формул Лоренца являются формулы галилеевых движений, следовательно, пространственная, т.е. евклидова составляющая пространства-времени Галилея является неоднородной, [7].

            Репер  евклидова пространства  считаем выбранным так, что направление , натянутое на векторы , инвариантно в движениях пространства. В движениях пространства всякая плоскость  отображается на параллельную ей плоскость , здесь  точки пространства . В задании поверхности явной функцией (1) область определения функции (1) лежит в инвариантной координатной плоскости =. Поверхность (1) описывается векторной функцией

(2)                                                  = .

Таким образом, на области  евклидовой плоскости  задано скалярное поле (1)  и в пространстве  на той же области  задано векторное поле (2). Векторное поле поверхности отличается от векторного поля на поверхности, [3, с. 354 – 357]. П.К. Рашевский рассматривает поле, заданное на самой поверхности , а мы рассматриваем поле, заданное на плоской области  определения поверхности.

 

2. Скалярное поле поверхности

            Рассматривается плоское скалярное поле (1) евклидовой плоскости , функция  является функцией двух параметров  и , от параметра  не зависит. Поле (1) считается скалярным полем поверхности (1). Линии уровня поля (1) есть

(3)                                                       , .

Градиент поля (1) таков

(4)                                                          ,

он нормален линиям уровня поля и указывает направление наибольшего изменения поля. Модуль градиента равен

.

Это величина наибольшего изменения скалярного поля (1) в каждой точке области . Ввиду регулярности поверхности (1), неявная функция , задающая линию уровня скалярного поля, определяет явную функцию

(5)                                                                  ,

условия существования функции  см. [8, с. 250 – 251], совпадают с условиями регулярности поверхности. По правилу дифференцирования неявной функции имеем

.

Векторы касательных к линиям уровня (3) есть

(6)                                                         ,

а векторы нормалей линий (3):

(7)                                                         .

Векторные линии поля  таковы

(8)                                                                 .

Отсюда: . Касательные векторы векторных линий поля  есть (7); следовательно, как известно:

Векторные линии поля  ортогональны линиям уровня скалярного поля .

 

3. Векторное поле поверхности

            Поверхность задана на области  функцией двух параметров. Векторное поле (2) задано на плоской области  евклидовой плоскости. Вихрь поля , как известно,  равен

 = .

В задании (2) функция  от параметра  не зависит. Для поля поверхности (2) находим:

(9)                                                          = .

Вихрь поля (2) оказался плоским. И векторные линии поля (7)  таковы

(10)                                                                .

Отсюда

.

1. СВОЙСТВО. Векторы касательных к векторным линиям поля  есть

(11)                                                       ,

они совпадают с векторами (6) касательных к линиям уровня (3) поля (1). #

 

4. Сопоставление полей регулярной поверхности

            Компонентами (координатными функциями) полей (4) и (9), связанных с регулярной поверхностью (1)

,   = ,

являются частные производные  явной функции , задающей поверхность (1). Векторы (6) и (11) совпадают. Справедлива

2.      ЛЕММА. Поля направлений полей (4) и (9) совпадают. #

Указанное поле направлений является полем направлений дифференциального уравнения (10) первого порядка, которое приводится к виду

(12)                                                          .

Таким образом, выполняется

3. ТЕОРЕМА. Общим решением дифференциального уравнения (12) является семейство (3) линий уровня скалярного поля (1).

# Указанное уравнение содержит полный дифференциал функции . Общее решение его есть (3), а это линии уровня скалярного поля (1). #

Учитывая полевой смысл функций (1) и (2), задающих регулярную евклидову поверхность, и векторы (6) и (11), теорему 3 можно сформулировать в следующем виде.

4. ТЕОРЕМА. Векторные линии вихревого поля  поля , заданного на области  евклидовой плоскости, совпадают с линиями уровня скалярного поля  на той же области  плоскости. #

 

5. Ортогональность векторных полей поверхности

            Отметим прежде всего

            5. СВОЙСТВО. Поля одной и той же поверхности (1)  и  взаимно перпендикулярны в каждой точке области их задания.

            #  Вычисляем скалярное произведение векторов  и . #

            То есть, поля  и  ортогональны, силовые линии поля  совпадают с линиями уровня поля , теорема 4.

Дифференциальное уравнение (8) приводится к виду

(13)                                                      ,

его поле направлений описывается векторами (7), а общим решением является семейство линий, ортогональных линиям уровня (3) скалярного поля , свойство 1. Но (13) не является уравнением с полным дифференциалом. Рассмотрим скалярные поля на плоскости . Поля  и  с общей областью определения называются ортогональными, если в каждой точке их области определения линии уровня полей ортогональны.

            6. ТЕОРЕМА. Скалярное поле  ортогональное данному полю  на области  характеризуется полем направлений с касательными векторами линий уровня

.

Линии уровня являются решением дифференциального уравнения

(14)                                             ,  ,

функция  находится как  решение дифференциального уравнения

(15)                                              .

            # Поле направлений задается векторами (6). Перпендикулярное к нему поле задается векторами (7) . Поле , ортогональное полю , есть = . Векторные линии этого поля таковы . Ввиду ортогональности полей  и , выполняется соотношение . Возможно, что ,  ,  . Приходим к дифференциальному уравнению (14), при этом должно выполняться условие интегрируемости

,

которое принимает вид (15). Так как скалярное поле   задано, то и функции  известны. #  Однако, согласно теореме 6, векторные линии поля  (9) ортогональны линиям уровня скалярного поля . Векторные линии поля (9) можно найти, решая уравнения (15) и (14).

 

6. Определяемость поверхности ее полями.

            В случае задания поверхности (1) имеем сопутствующие поля ,   = . Функции , как компоненты сопутствующих полей, известны. Теперь считаем, что заданы функции  и . Очевидно, что при этом выполняются условие . Справедливо следующее простое утверждение.

            7. СВОЙСТВО. Компоненты  полей  и  однозначно, с точностью до положения, определяют поверхность (1). Начальные условия вида

, ,

выделяют единственную поверхность, проходящую через заданную точку .

# Функция  , задающая поверхность, является решением уравнения  с полным дифференциалом. Начальные условия дают единственную поверхность. #

Таким образом, справедливо

8. СВОЙСТВО. Поле  и поле , каждое в отдельности, однозначно определяют поверхность. #

 

7. Связь векторных полей

регулярной поверхности с первой квадратичной формой поверхности

            В задании (2) поверхности находим ее первую квадратичную форму. Вычисляем производные

,  .

Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, как известно, есть

(16)                               ,  ,  .

Скалярный квадрат вектора  равен

.

Здесь слагаемое с произведением координат не появляется, т.к. , но это не означает равенства нулю коэффициента  квадратичной формы. Модуль  равен

 = .

Эта величина является наибольшим изменением . Дивергенция поля  =

 равна = . Как уже отмечалось, функция  от параметра  не зависит. Число 2 в выражении для   можно трактовать как значение . Таким образом, выполняется

             9. СВОЙСТВО. Модуль градиента скалярного поля регулярной поверхности выражается через два коэффициента первой квадратичной формы поверхности и

 , или . #

            Далее, справедливо

            10. СВОЙСТВО. Регулярная евклидова поверхность (1)  однозначно определяется коэффициентами ее первой квадратичной формы.

            # Утверждение следует из свойства 6 и из (16). Поверхность (1) однозначно определяется компонентами  каждого из полей  и ; по (16) , , . В [2] указана схема получения функции  по заданным функциям  и  с использованием функции . #

            Известна определяемость поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм. В работе [9] найдены выражения коэффициентов второй квадратичной формы через коэффициенты ее первой квадратичной формы; следовательно, регулярная поверхность  однозначно определяется только коэффициентами первой квадратичной формы. Свойство 7 есть еще одно подтверждение полученного в [9] факта.

 

Литература

  1. Долгарев И.А., Долгарев А.И. Неоднородность пространственной составляющей пространства-времени.  – Материали за VIII Международна научна практична конференция «Новини на научния прогрес – 2012» 17 – 25 август 2012 г. Том 9. Математика. Съвременни технологии на информации. – София: Бял ГРАД-БГ ООД 2012, с. 29 – 39.
  2. Долгарев А.И. Система линейных уравнений первого порядка в частных производных. Задание евклидовой поверхности коэффициентами ее первой квадратичной формы. // Materiali IX mezinarodni vedecko-praktika conference «Dni vediy – 2013» - Dil 32. Matematika. Vystavba a archtektura: Praga. Publiching House “Education and Skience”. s.r.o. – 112. С. 32 – 40.
  3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

4.      Долгарев И.А., Долгарев А.И.  Некоторые приложения галилеевых методов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математи-ческие науки, Пенза: ИИЦ ПГУ – 2009 , № 2(9), С. 39 – 59.

  1. Долгарев А.И. Различные по Ф. Клену евклидовы геометрии: элементарная и

     дифференциальная.// Materialy IX Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji

     “Strategiczne pytania swiatowej nauki – 2013” Volume 28. Matematyka. Fizyka.

     Nowoczesneinformacyjne technologie.: Przemysl. Nauka i studia – 96 str. C. 3 – 8.

  1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1956. - 440с.
  2. Долгапрев А.И. Структура галилеева пространства-времени. - Materialy VIII mezinarodni vedecko-praktika conference «Aplikovane vedecke novinky – 2012» 27.07.2012 – 05.08.2012. Dil 12. Matematika, Fizika, Novoczesne informacyjne technologie. – Praha: Publishing House “Education and Science” s.r.o., p. 13 – 21.

8.      Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.I. М.: ГИТТЛ, 1957. – 464с.

  1. Долгарев А.И. Новый вид основной теоремы Гаусса в евклидовой теории поверхностей. Materiali IX mezinarodni vedecko-hraktika conference «Dni vediy – 2013» - Dil 32. Matematika. Vystavba a archtektura: Praga. Publiching House “Education and Skience”. s.r.o. – 112. С. 55 – 60.