Адрес  080000, Казахстан, г.Тараз, ул. Толе би 60, ТарГУ им М.Х.Дулати

 

 

Наметбаев Г.Ш., Чернявская Н.П.,Туленбаев Ж.С.

Таразский государственный университет им.М.Х.Дулати, Казахстан

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ НА ПРИМЕРЕ СЕЙСМОГРАММ.

 

Значительная группа измерительных устройств преобразует измеряемую величину в пропорциональный аналоговый чаще всего  электрический сигнал. При анализе, исследовании или проектировании возникает необходимость математического описания подобных сигналов в виде функций. С подобной задачей авторы столкнулись при экспериментальном исследовании различных видов фундаментов на сейсмостойкость. Для определения параметров колебаний исследуемых фундаментов был использован гальванометрический способ регистрации. Этот способ, благодаря высокой точности и простоте осуществления многока­нальной записи, широко применяется в экспериментальной практике. В качестве первичного преобразователя использованы сейсмоприемники  C5G в комплекте с гальванометрами МО02 (смещение) и сейсмоприники 0СП-2М в комплекте с гальванометрами МОХ7 (ускорение).

Подбор гальванометров для измерения параметров колебаний был осуществлен согласно техническим характеристикам сейсмоприборов, запись осуществлялась на светолучевых осциллографах Н041 и Н044.2.

Для ступенчатого снижения величины электрического сигнала между сейсмоприемниками и гальванометрами были подключены шунтовые коробки Щ-1. Все приборы стандартные заводского изготовления. Получение достоверных результатов измерений связано с построением амплитудно-частотных характеристик каналов измерительного стенда. Аналитические методы построения их по паспортным параметрам приборов весьма трудоемки. В связи с этим характеристики виброизмерительных приборов стремятся определить экспериментально.

По результатам экспериментов были получены сейсмограммы, примеры которых приведены на рис.1. В ходе дальнейших исследовании, а именно определения оптимальных параметров исследуемых фундаментов, возникла необходимость математического описания этих сейсмограмм. Для этих целей был использован метод быстрого преобразования Фурье(БПФ).     Основная проблема, возникающая при практической реализации преобразования Фурье, заключена в большом количестве вычислительных операций, пропорциональном N2-колличеству дискретизации. Хотя еще задолго до появления компьютеров было предложено несколько эффективных вычислительных схем, позволяющих существенно сократить число вычислительных операций, настоящую революцию произвела публикация в 1965 году статьи Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey) c практическим алгоритмом быстрого (число операций Nlog2N) вычисления

                   Рисунок 1. Сейсмограмма.

После этого было разработано множество вариантов, усовершенствований и дополнений основной идеи, составивших класс алгоритмов, известных под названием быстрого преобразования Фурье. Основная идея БПФ - деление N-точечного ПФ на два и более ПФ меньшей длины, каждый из которых можно вычислить отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, с тем чтобы получить ПФ исходной N-точечной последовательности.
Представим дискретное преобразование Фурье (ПФ) в виде

,                                      (1)

где величина WN=exp(-j2/N) носит название поворачивающего множителя (здесь и далее в этом разделе период выборки T=1). Выделим из последовательности x[n] элементы с четными и нечетными номерами


      (2)

Но так как то
. Следовательно, (36) можно записать в виде

,                                (3)

где каждое из слагаемых является преобразованием длины N/2

               (4)

   Заметим, что последовательность (WN/2)nk периодична по k с периодом N/2. Поэтому, хотя номер k в выражении (3) принимает значения от 0 до N-1, каждая из сумм вычисляется для значений k от 0 до N/2-1. Можно оценить число комплексных операций умножения и сложения, необходимых для вычисления преобразования Фурье в соответствии с алгоритмом (3)-(4). Два N/2-точечных преобразования Фурье по формулам (4) предполагают выполнение 2(N/2)2 умножений и приблизительно столько же сложений. Объединение двух N/2-точечных преобразований по формуле (3) требует еще N умножений и N сложений. Следовательно, для вычисления преобразования Фурье для всех N значений k необходимо произвести по N+N2/2 умножений и сложений. В то же время прямое вычисление по формуле (1) требует по N2 умножений и сложений. Уже при N>2 выполняется неравенство N+N2/2 < N2  и, таким образом, вычисления по алгоритму (3)-(4) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (1). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

,                    (5)
                          (6)


   При этом, вследствие периодичности последовательности WnkN/4 по k с периодом N/4, суммы (6) необходимо вычислять только для значений k от 0 до N/4-1. Поэтому расчет последовательности X[k] по формулам (3), (4) и (6) требует, как нетрудно подсчитать, уже по 2N+N2/4 операций умножения и сложения.
   Следуя таким путем, объем вычислений X[k] можно все более и более уменьшать. После m=log2N разложений приходим к двухточечным преобразованиям Фурье вида

                                (7)

где "одноточечные преобразования" X1[k,p] представляют собой просто отсчеты сигнала x[n]:

X1[k,q] = x[q]/N, q=0,1,...,N-1.                                                   (8)
  

 В итоге можно записать алгоритм БПФ, получивший по понятным причинам название алгоритма с прореживанием по времени :

                          X2[k,p] = (x[p] + Wk2x[p+N/2]) / N,

где k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

                           X2N/M[k,p] =XN/M[k,p] + Wk2N/MXN/M[k,p+M/2],

где k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = XN[k] =XN/2[k,0] + WkNXN/2[k,1],                                 (9)

где k=0,1,...,N-1

   На каждом этапе вычислений производится по N комплексных умножений и сложений. А так как число разложений исходной последовательности на подпоследовательности половинной длины равно log2N, то полное число операций умножения-сложения в алгоритме БПФ равно Nlog2N. При больших N имеет место существенная экономия вычислительных операций по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Например, при    N = 210 = 1024 число операций уменьшается в 117 раз.
   Рассмотренный нами алгоритм БПФ с прореживанием по времени основан на вычислении преобразования Фурье путем формирования подпоследовательностей входной последовательности x[n]. Однако можно использовать также разложение на подпоследовательности преобразования Фурье X[k]. Алгоритм БПФ, основанный на этой процедуре, носит название алгоритма с прореживанием по частоте. Подробнее о быстром преобразовании Фурье можно прочитать, например, в [1,2]. Программная реализация БПФ есть практически во всех математических пакетах и библиотеках. Между тем, опыт показывает, что, при всей своей простоте, метод начинает вызывать некоторые вопросы, когда возникает необходимость не просто посмотреть наличие дискреток в сигнале, но и выяснить их абсолютные значения, т.е. нормализовать полученный результат. MATLAB позволяет не связываться с ручным удалением ненужных объектов, однако, при работе с более менее объемными массивами данных, имеет привычку капризничать и жаловаться на недостаток памяти. Для освобождения памяти используется процедура clear с указанием имени объекта, который необходимо удалить. [3] Использовав, стандартную программу БПФ из пакета MATLAB мы получили функцию, представляющую собой сумму синусоид и описывающую подобные сейсмограммы рис.1. Кроме того, мы определили частоты наиболее энергонесущие, т.е. частоты наиболее разрушительные.

1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1978.

2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990.

3. http://psi-logic.narod.ru/fft/fft.htm