И.А. Долгарев и А.И. Долгарев

ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДВУМЯ СКАЛЯРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Рассматриваются явно заданные поверхности и изучаются 2-параметрические поверхности 4-мерного пространства.

Согласно обзору [1], обычно мерные поверхности евклидова мерного евклидова пространства , , изучаются как погружения мерного многообразия в , , это поверхность-график, [1, 2], или явно заданная поверхность. Бытует мнение о том, что существует нормалей к поверхности , т.е. поверхность обладает мерной нормальной плоскостью, что не всегда верно. Развивая идеи из [2, 3], рассматриваем поверхности, заданные несколькими скалярными функциями. Поверхность считается регулярной, , она является подмногообразием гладкого многообразия , описывается скалярной функцией параметров и соответствующей векторной функцией ; вектор принадлежит мерному векторному пространству евклидова пространства ; поверхность является годографом этой функции. Многообразие может описываться одной функцией , или несколькими функциями, [2, c. 180 – 182].

1. Гиперповерхности и цилиндрические поверхности

1.1. Виды поверхностей

Евклидово пространство обладает векторным пространством , которое состоит из кортежей действительных чисел длины :

= .

Достаточно поверхность рассматривать в некотором фиксированном базисе = пространства ; во всех других базисах пространства поверхности обладают теми же свойствами, что и в базисе . Поверхность в есть образ мерного многообразия , в паре с погружением . Погружение и поверхность записывается функцией

.

Если , то, разумеется, поверхность описывается векторной функцией

, (1)

компоненты не зависят от .

Пусть точка поверхности , . Координаты точки удовлетворяют уравнению . Вместе с тем и координаты точек удовлетворяют уравнению при любых значениях величин . Всякая прямая , , проходящая через точку в направлении вектора , лежит на поверхности . Поверхность является цилиндрической, содержащей плоскость . Размерность плоскости равна , размерность поверхности равна . Выполняется:

1. ТЕОРЕМА. [4, лемма 4] Всякое погружение определяет в пространстве поверхность размерности . Поверхность размерности является либо гиперповерхностью, либо цилиндрической поверхностью. #

Существуют поверхности, задаваемые несколькими скалярными функциями

; ,

как подмногообразия многообразия , см. [2, c. 182 – 184; 3, c. 184 – 186].

1.2. Касательная плоскость и нормаль поверхности

Векторы касательных к линиям поверхности в , согласно (1), равны

, , ; (2)

векторы независимы. Число 1 является ой компонентой функции , функция есть ая компонента. Остальные компоненты вектора (2) равны нулю. Пусть точка поверхности . Касательная плоскость поверхности в точке есть

= . (3)

Это гиперплоскость пространства . Вектор

, (4)

см. [4], ортогонален векторам и . Выполняется

2. ТЕОРЕМА. [4, п. 4] Явно заданная поверхность пространства обладает единственной нормалью во всякой своей обыкновенной точке

= .

Скалярный квадрат вектора (4) нормали поверхности (1) равен

, (5)

и модуль его есть . Единичный вектор нормали:

, (6)

нормаль поверхности :

=.

В теории поверхностей важно предъявлять векторы касательных и нормальных поверхности. Большое значение имеет теорема [4, теорема 13], о том, что коэффициенты формы кривизны поверхности

, , где ,

выражаются через коэффициенты метрической формы

, ,

поверхности и их производные следующими равенствами

, , где .

2. Поверхности размерности 2 в пространстве размерности 4.

2.1. Поверхности меньшей размерности

Согласно [3, c. 184 – 186], мерная поверхность мерного пространства , , есть непустое пересечение поверхностей размерности . Нормали этих гиперповерхностей линейно независимы. В [2, c. 180 – 182] мерная поверхность в задается функциями от параметров или функцией:

, где .

Простейшими поверхностями пространства являются плоскости. Известно, что плоскости мерного пространства, , могут в пересечении иметь точку, прямую, или плоскость вплоть до размерности . Это относится и к пересечению мерных поверхностей в пространстве. Условие непустоты пересечения поверхностей в предыдущем абзаце определяет не только мерную поверхность, а все поверхности размерности не больше . Далее рассматривается случай , .

2.2. Поверхность в , заданная двумя функциями

Рассмотрим в 2-параметрическую поверхность , описываемую функцией

= , , . (7)

Это многообразие с наименьшим возможным числом параметров, определяющим поверхность в евклидовом пространстве наименьшей размерности, в котором поверхность может быть задана двумя скалярными функциями. Существует цилиндрическая поверхность = , но она 1-параметрическая и 2-мерная.

Укажем векторы касательных и нормалей к поверхности их координатами. Это позволит получить уравнения касательной и нормальной плоскостей, вычислить коэффициенты метрической формы и форм кривизны поверхности.

Векторы касательных линий поверхности (7) таковы

, (8)

выполняется условие: функциональный определитель отличен от нуля,

. (9)

В точке = поверхности определена касательная плоскость

= ,

она 2-мерна. Существует два неколлинеарных вектора нормалей к плоскости . Один из этих векторов выберем по аналогии с вектором (4):

= . (10)

Т.к. , то (10) нормален к плоскости . Другой вектор нормали к поверхности обозначим = , находим его из условий . Имеем систему линейных уравнений для компонент вектора:

Выразим величины через :

, .

Здесь , см. (9). Рассмотрим вектор

.

Оказывается, . Для координат вектора положим . Имеем:

. (11)

Векторы и неколлинеарны, нормальная плоскость поверхности в точке такова

=. (12)

Модули векторов нормали:

, . (13)

2.2. Фундаментальные формы поверхности

Метрической формой поверхности является

.

Обозначим:

.

В канонической записи метрическая форма поверхности есть

=, (14)

коэффициенты метрической формы таковы:

, , . (15)

3. ТЕОРЕМА. Детерминант метрической формы поверхности на

1 больше квадрата функционального детерминанта (9) поверхности,

. (16)

В координатах на поверхности рассматривается кривая

,

где естественный параметр кривой. Единичный вектор касательной кривой :

,

и вектор главной нормали линии на :

. (17)

Воспользуемся векторами вторых производных:

, , .

Нормальная кривизна линии относительно нормали (10) равна

= =

= . (18)

а нормальная кривизна линии относительно нормали (11) равна

= =

= +

+. (19)

Модули векторов нормали есть (13). Выполняются равенства:

= , = .

Форма кривизны первого вида поверхности содержится в (18) и форма кривизны дру-

гого вида поверхности содержится в (19). Коэффициенты формы кривизны первого вида для поверхности равны

= , = , = (20)

для формы кривизны поверхности второго вида:

= , = ,

=

Во введенных обозначениях: = , = .

Не видно, выражаются ли коэффициенты форм кривизны поверхности через коэффициенты метрической формы.

3. Многообразие в как линия

3.1. Уменьшение числа параметров многообразия,

заданного несколькими скалярными функциями

Многообразие (7), описанное двумя скалярными функциями , , может быть линией. Оно содержит два следующих 2-параметрических подмногообразия

: = , : = .

Каждое из них является цилиндрической поверхностью в пространстве . Поверхность является цилиндрической с образующими, параллельными координатной оси . Образующие поверхности параллельны оси . Общие точки поверхностей и могут составлять линию пересечения двух цилиндрических поверхностей: : = , она описывается системой функций

: (21)

Значит, имеется выражение параметров через некоторый параметр , т.е. линия

==.

Рассматриваем эту линию как линию пересечения .

3.2. Линия пересечения цилиндрических поверхностей

Сначала получим вектор касательной линии (21): =. Цилиндрическая поверхность имеет касательные векторы

, ,

содержит прямую , определяемую вектором , точка многообразия , см. п. 1.1. Уравнение касательной плоскости к :

, где

произвольная точка пространства обозначена . Уравнение не содержит четвертой координаты, плоскость касается цилиндрической поверхности пространства , вектор нормали к касательной плоскости таков . Аналогично, имеется уравнение касательной плоскости поверхности

,

ее нормальный вектор . Вектор , нормальный векторам и , получается по аналогии с вектором (10) из п. 2.1, это вектор касательной к линии пересечения поверхностей и :

. (22)

Выполняются равенства , . Уравнение касательной к линии пересечения:

.

Рассматриваем линию в естественной параметризации . Известно, что вектор касательной к линии, заданной в естественной параметризации, является единичным, а вектор второй производной перпендикулярен вектору касательной, он определяет главную нормаль линии. Векторы касательных к поверхностям и таковы:

, , , .

Имеем вектор касательной к . Находим:

.

Запишем вектор в виде двух слагаемых:

= ,

=, =+.

Вектор перпендикулярен вектору касательной . Вектор имеет следующий вид

= + = ,

см. (8), каждое его слагаемое лежит в касательной плоскости к соответствующей цилиндрической поверхности (7), он не может быть составляющей нормали к линии. Поэтому ос-

тается вектор кривизны

= ,

напоминающий форму нормальной кривизны (18) линий на поверхности . Кривизна линии пересечения равна = Таким образом, приходим к утверждению

4. ТЕОРЕМА. Поверхность = (7), заданная двумя скалярными функциями , имеющая форму кривизны (18), как линия пересечения (21) двух цилиндрических поверхностей, имеет кривизну , вычисляемую по коэффициентам (20) формы (18). #

Из двух нормальных кривизн линий на поверхности (7), относительно векторов нормалей (10) и (11), нормаль (10) содержится как часть главной нормали линии (21).

Список литературы

1. Иванова-Каратопраклиева И., Марков П.Е., Сабитов И.Х. Изгибание поверхностей. III. – Фундаментальная и прикладная математика, том 12. (2006), № 1, С. 3 – 56.
2. Иванов А.О., Тужилин А.А. Лекции по классической дифференциальной геометрии. – М.: Новая университетская библиотека, 2009 – 233с.
3. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. Волгоград: «Платон», 1998 – 360с.
4. Долгарев А.И. Многомерные поверхности I. Выражение коэффициентов второй квадратичной формы евклидовой поверхности через коэффициенты первой квадратичной формы.// Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji “Moderni vymozenosti vedy – 2014”, dil 34. Matematyka. Fizyka. – Praga. Publiching House “Education and Skience”. s.r.o. – 2014. С. 30 – 40.