Лазаренко А.С., Пуляева М.Д.

Бердянський державний педагогічний університет

 

УСТОЙЧИВОСТЬ СТРУИ ЖИДКОСТИ ПРИ СВОБОДНОМ ИСТЕЧЕНИИ ИЗ КРУГЛОГО ОТВЕРСТИЯ

Аннотация. В работе рассматривается процесс свободного вертикального истечения струи идеальной жидкости из круглого отверстия. Проведен расчет профиля вертикального сечения струи. Получены функциональные зависимости площади свободной поверхности струи, объёма и массы струи от длины струи и времени. В рамках закона сохранения энергии получен критерий устойчивости течения струи.

 

При наблюдении вертикальной струи реальной жидкости достаточно легко заметить, что, начиная с определённой длины струи, устойчивость течения нарушается. Струя утрачивает неразрывность и превращается в последовательность капель. Принято считать, что происходит переход от ламинарного течения к турбулентному. Количественно такой переход описывается как превышение значением числа Рейнольдса для струи соответствующего критического значения.

Число Рейнольдса определяется соотношением:

где

·                     \rho — плотность среды, кг/м3;

·                     v — характерная скорость, м/с;

·                     D_\Gamma — гидравлический диаметр, м;

·                     \eta — динамическая вязкость среды, Н·с/м2;

·                     \nu — кинематическая вязкость среды, м2/с;

·                     Q — объёмная скорость потока;

·                     A — площадь сечения струи.

Рассмотрим процесс образования струи в рамках модели идеальной жидкости. Выясним, возможно ли нарушение устойчивости без возникновения турбулентности.

Пусть струя вытекает из круглого отверстия радиуса R, проделанного в плоском горизонтальном дне неограниченного резервуара с постоянным уровнем жидкости. Уровень жидкости в резервуаре сравним с размерами отверстия (Рис.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1 Модель образования свободной струи.

Такой выбор резервуара и уровня жидкости в нём обеспечивает вытекание струи с нулевой начальной скоростью, поскольку давление уровня жидкости уравновешивается обратным лапласовским давлением в начальной стадии формирования струи (Рис.2).

 

 

 

 

Рис. 2 Начальная стадия образования струи

;  

где ρ- плотность жидкости4; g - ускорение свободного падения; Н - требуемый уровень жидкостив резервуаре; R - радиус отверстия; s - коэфициент поверхностного натяжения жидкости.

Определим профиль плоского вертикального сечения струи в плоскости (XOY).

Считая, что истечение струи происходит под действием силы тяжести с нулевой начальной скоростью получаем следующую зависимость скорости течения в струе от координаты x:

                                                     (1)

Используя условие неразрывности струи:

S(x)v(x)=const,

где S(x) – зависимость площади поперечного сечения струи от координаты х., получаем функциональную зависимость формы профиля вертикального сечения струи от координаты х (Рис.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Форма профиля вертикального сечения свободной струи идеальной жидкости.

                                                   (2)

Анализ выражения (2) позволяет сделать вывод о том, что струя должна оканчиваться закруглением, радиус которого определяется выражением:

                                                     (3)

где h - длина струи.

Рассчитывая площадь поверхности струи в зависимости от её длины, получаем:

                                                  (4)

Зависимость площади боковой поверхности от времени даётся выражением:

                                      (5)

Следующие выражения дают зависимости объёма и массы струи от её длины и времени:

;                                                (6)

                                      (7)

                                          (8)

                                  (9)

При увеличении длины струи работа силы тяжести расходуется на увеличение скорости течения и энергию образования свободной поверхности струи. Если при элементарном приращении длины на dx работа силы тяжести превысит суммарное приращение кинетической и поверхностной энергии, то устойчивость струи будет нарушаться за счёт образования дополнительной свободной поверхности, то есть разбивания струи на отдельные капли.

Таким образом критерий нарушения устойчивости течения можно записать в виде выражения:

                         (10)

После подстановок и преобразований получаем для критического значения длины струи:

                                            (11)

Таким образом, если длина свободной вертикальной струи идеальной жидкости превысит критическое значение, определяемое выражением (11), струя утратит устойчивость и разобьётся на отдельные капли в силу выполнения закона сохранения энергии.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. —5-е изд., — 2006. — Т. VI. Гидродинамика. — 736 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газ.. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1974. – 711 с.