УДК 517.946

М.П.Ленюк, В.В.Мороз

 

Моделювання нестаціонарного температурного поля в кусково-однорідній кільчастій циліндрично-анізотропній пластині з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Бесселя-Фур’є

 

Розглянемо вільну від зовнішніх навантажень пластину

П1 = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2); R0 > 0, R2 º R < ¥}

з м’якими (по відношенню до відбиття хвиль) межами, яка володіє циліндричною анізотропією у відношенні до її теплових і пружних властивостей.

 В рамках феноменологічної теорії теплопровідності задача про структуру нестаціонарного температурного поля в пластині П1 приводить до побудови обмеженого в області D1 = { (t, r): t ³ 0, r Î П1} розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь в частинних похідних параболічного типу [1, 2]

              = f1(t, r), r Î (R0, R1),            

                          = f2(t, r), r Î (R1, R2)                           (1)

за початковими умовами

                             Tj(t, r)|t = 0 = gj(r), r Î (Rj – 1, Rj), j = 1, 2,                                (2)

крайовими умовами

                               = w0(t),  = w2(t)                                 (3)

та умовами спряження

                              , j = 1, 2.                                 (4)

          У рівностях (3), (4) беруть участь диференціальні оператори

               , j, k = 1, 2; m = 0, 1, 2.                     

          Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: ,  > 0, 2a1 + 1  ³ 0,   £ 0,  ³ 0, || +  ¹ 0,  ³ 0,  ³ 0,  +  ¹ 0, c11, 1 c21, 1 > 0, cj1, 1 = ,  º cj1, 2 = 0,  = .

          Припустимо, що шукані й задані функції є оригіналами Лапласа стосовно t [3]. У зображенні за Лапласом задачі (1) – (4) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині П1 розв’язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь Бесселя та Фур’є

, r Î (R0, R1),

                          , r Î (R1, R2)                             (5)

за крайовими умовами

            ,                (6)

та умовами спряження

          , j = 1, 2.   (7)

          У рівностях (5) – (7) прийняті позначення:

,, ,

, , ,

,  –

– , , ,

, aj > 0,  ³ 0, j = 1, 2.

          Фундаментальну систему розв’язків для модифікованого рівняння Бесселя ()v = 0 утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду (q1r) та другого роду (q1r) [4]; фундаментальну систему розв’язків для модифікованого диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 – )v = 0 утворюють функції v1 = ch q2r  та v2 = sh q2r [5].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати загальний розв’язок крайової задачі (5) – (7) методом функцій Коші [5]:

          ,   

                  .                      (8)

          У рівностях (7)  – функції Коші [5, 6].

          Визначимо функції:

,

,

, j = 1, 2,

.

Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

         (9)    Введемо до розгляду функції:                          

 º  = ,

 º  = ,

, j = 1, 2;

.

          Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

               (10)

          Повернемося до формул (8). Умови спряження (7) та крайові умови (6) для визначення величин Aj, Bj (j = 1, 2) дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                         ,

   ,

,

                                .                                 (11)

          У системі (14) бере участь функція:

+.

          Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної температурної  задачі: для p = s + is з Rep = s > s0, де s0 – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (11)

                           º  –

                               – ¹ 0.                                (12)

          Визначимо головні розв’язки  крайової задачі (5) – (7):

1) породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції Гріна

[ –

– ],

;                                                             (13)

2) породжені крайовою умовою в точці r =  R2 функції Гріна

,

[ –

– ];                                                                     (14)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ;      (15)

4) породжені неоднорідністю системи (5) функції впливу

,

,                       (16)

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (11), підстановки одержаних значень Aj, Bj (j = 1, 2) у формули (8) та низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (5) – (7):

 +  +  +

+  +  +

+ , j = 1, 2.                                                                        (17)

          Зауважимо, що можна вважати  = 0,  

 = 0,  –

– [] = 0.

          Якщо не так, то покладемо gj(r) = zj(r) + ajr + bj й величини aj, bj (j = 1, 2) визначимо із алгебраїчної системи рівнянь:

                                       ,

             – [] = , j = 1, 2,             (18)

                                      .

          Очевидно, що алгебраїчна система (18) сумісна.

          Повертаючись в рівностях (17) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок температурної задачі (1)  – (4):

 +  +

+  +  +

+  + . (19)

          Тут за означенням [3] беруть участь функції:

                        , k, j = 1, 2;                          (20)

                   , k = 1, 2, j = 1, 2.                    (21)

                   , j, k = 1, 2.                     (22)

          Подамо зручний для використання вигляд формул (20) – (22).

          Особливими точками функцій Гріна (p, r), (p, r) та функцій впливу (p, r, r) є точки галуження p = –, p = – та p = ¥ [3]. Покладемо qj = ibj, bj = , g 2 = max{}, , j = 1, 2. Тоді p = –(b 2 + g 2), dp = –2b db.

          Скористаємося формулами обходу для модифікованих функцій Бесселя та Фур’є [7]:

, , ;

,

 = [ – i];

;  =

= [ – ] º

º ;  =

= [ – ] º

º ;

,

,

 º ,

 º ,

 º  = .

          Якщо б  ¹ 0, то функції  º 0,  º 0,  º 0. Згідно формули (19) Tj(t, r) º 0, що неможливо.

          Отже, ми приходимо до трансцендентного рівняння  = 0, корені bn якого утворюють дискретний спектр.

          Введемо до розгляду функції:

 –  

[d12(b2nR1,b2nR2)]–1j22(b2nR2,b2nr),bjn=,

(r, bn) = q(r – R0)q(R1 – r) (r, bn) + q(r – R1)q(R2 – r) (r, bn),

s(r) = q(r – R0)q(R1 – r)s1 + q(r – R1)q(R2 – r)s2, , .

          За узагальненою теоремою розвинення [3] знаходимо:

          , j, k = 1, 2.          (23)

          У формулі (23) бере участь узагальнений квадрат норми власної функції:

              (24)

          Аналогічно одержуємо:

           = ,      (25)

             = ,              (26)

              , j = 1, 2,               (27)

                     ,                       (28)

          , m = 1, 2.

          З цим формули (19) стають розрахунковими. При відомих функціях fj(t, r), gj(r), w0(t), w2(t), wj1(t) структура температурного поля в даному середовищі стає відомою.

          Очевидно, що при  = 0,  = 0 маємо розв’язок параболічної задачі на спряження для випадку, коли границя середовища жорстка по відношенню до відбиття хвиль.

          Аналіз виразу для узагальненого квадрата норми подамо в іншій роботі.

          Одержаний в роботі результат без залучення нових ідей розповсюджується на випадок будь-якого скінченного числа точок спряження.

 

 

Література

1.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 724 с.

2.     Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – К.: Наук. думка, 1976. – 310 с.

3.     Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

4.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

5.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

6.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

7.     Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: наука, 1971. – 1108 с.