Технические науки/2. Механика

Вайс Г.Б., Дрожжин Д.Н.

Автомобильно-дорожный институт

Донецкого национального технического университета

Расчет основных частот и форм свободных крутильных колебаний вала в среде MATHCAD

Рассматривается свободные крутильные колебания цилиндрического вала постоянного поперечного сечения с закрепленными на нем четырьмя дисками. Так как положение этой системы в любой момент времени определяется углом поворота каждого из дисков, т. е. четырьмя независимыми друг от друга параметрами, то эта система имеет четыре степени свободы.

Рис.1.

Кинетическая энергия этой системы определяется по формуле

,

где - моменты инерции дисков относительно оси вращения вала.

Потенциальная энергия рассматриваемой системы определяется углами поворота дисков друг относительно друга, а также жесткостью на кручение каждого из участков вала по следующей формуле:

,

где

Здесь - длины соответствующих участков вала; G – модуль сдвига; J_p- полярный момент инерции сечения вала.

Подставляя выражения для Т и П в уравнение Лагранжа второго рода, получаем систему дифференциальных уравнений, которая в матричном виде выглядит так

или (1)

В уравнении (1) а – матрица моментов инерции; С – матрица жесткости.

Умножим обе части уравнения (1) на матрицу , получим

, (2)

где

Частные решения системы дифференциальных уравнений (1) имею вид

, (3)

Так как

то

Обозначим через l, получим

, или ,

а это значит, что есть собственный вектор матрицы А с собственными значениями l_j

Выполним расчет частот и форм главных колебаний в среде Mathcad.

Литература

1. А.А Яблонский, С.С. Норейко Курс теории колебаний. М., «Высш. школа», 1975. 245 с.

2. А.И. Плис, Н.А. Сливина. MATHCAD 2000. Математический практикум. – М.: Финансы и статистика, 2000. 656 с.