Математика/4. Прикладная математика

К.ф.-м.н. Зинченко А.Б., Саакова В.А.

Южный федеральный университет. Россия

Клановые и близкие к ним кооперативные игры

Кооперативная игра с трансферабельной полезностью имеет вид , где - конечное множество (игроков, агентов), , - характеристическая функция, удовлетворяющая условию . Значение , называемое весом коалиции , интерпретируется как максимальная выгода, которую может получить эта коалиция без помощи остальных агентов. Игра моделирует ситуации, участники которых, объединяя ресурсы, капиталы, технологии, доступную информацию и т.д., могут получить дополнительную полезность: увеличить прибыль, престиж, влияние на других, сократить расходы. Предполагается, что сформировалась коалиция всех игроков. Проблема состоит в "справедливом" распределении общей полезности между участниками игры. С-ядро (core) игры состоит из эффективных и коллективно-рациональных векторов индивидуальных выигрышей

.

Игра , имеющая непустое С-ядро, называется сбалансированной.

Клановые игры [1] были введены для моделирования взаимодействия между группой сильных агентов (кланом) и слабыми агентами, не принадлежащими клану. Коалицию слабых игроков называют союзом. Клановая игра лиц с коалицией в качестве клана определяется условиями:

(неотрицательность)

(свойство клана) (1)

(свойство союза) (2)

Из свойства клана следует, что каждый игрок имеет право "вето". Свойство союза означает, что слабые игроки успешней действуют в объединениях, чем поодиночке. Например, клановой является игра единогласия (unanimity game) , где ,

в которой выигрывают только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию . Такие игры возникают в ситуациях голосования, когда множество участников содержит группу, имеющую право ²вето², а голоса остальных агентов несущественны. Если , где , то клановая игра является игрой с максимальным кланом. Только один агент не принадлежит клану. Если выполняется условие , то клановая игра с нулевым кланом сводится к 1-выпуклой (двойственно симплексной) игре.

Клановая игра, с кланом, состоящим из одного агента , известна как немонотонная игра большого босса с игроком в качестве босса. Монотонная игра большого босса с игроком в качестве босса [2] определяется условиями:

(монотонность) ;

(свойство босса) ; (3)

(свойство союза) . (4)

Из монотонности игры следует ее неотрицательность и неотрицательность маргинальных вкладов всех игроков. Однако обратное не верно. Кроме монотонных и немонотонных игр большого босса существуют тотальные (total), обобщенные (generalized) и игры сильного (strong) большого босса.

Перечислим некоторые приложения клановых и близких к ним игр: ситуации банкротства и инвестирования, коллективное страхование, объединение ресурсов для совместного выпуска продукции, рыночные отношения, дележ прибыли между землевладельцем и наемными работниками, холдинг.

Клановые и близкие к ним игры обладают привлекательными свойствами:

- они сбалансированы,

- С-ядро имеет специальную структуру, его крайние точки легко вычисляются,

- существуют простые критерии выпуклости таких игр,

- некоторые концепции решения совпадают, т.е. одновременно отражают несколько принципов справедливости,

- неаддитивные в общем случае решения приобретают для таких игр свойство аддитивности.

Некоторые определения кооперативной теории не инвариантны относительно стратегической эквивалентности. Например, 0-форма немонотонной игры может быть монотонной. Не симметричные игроки могут стать симметричными после 0-нормализации игры. Одна из стратегически эквивалентных игр может быть инверсионно симметричной, а другая – нет. Покажем не инвариантность понятий клановой игры и игры большого босса.

Рассмотрим ситуацию производства неделимой продукции, определенную следующими значениями параметров: (количество ресурсов); (количество типов продукции); (количество производителей); - вектор цен;

,

технологическая матрица и матрица ресурсов. Задача, определяющая вес каждой непустой коалиции S, и векторы ресурсов коалиций имеют вид

Характеристическая функция целочисленной производственной игры , а также оптимальные производственные планы приведены во второй и третьей строках таблицы 1. Игра не имеет вето-игроков, следовательно, не является клановой. Выполнив 0-нормализацию, получаем игру, приведенную в последней строке таблицы 1. Вычислив маргинальные вклады игроков

, , ,

мы видим, что 0-форма игры монотонна, имеет вето-игрока и удовлетворяет условию союза, которое для игры трех лиц и состоит из одного неравенства . Таким образом, в отличие от исходной игры, 0-нормализованная игра есть игра большого босса с игроком 1 в качестве босса.

Таблица 1

Характеристическая функция производственной игры и ее 0-форма

Коалиция
	90	80	0	180	180	80	270
Вектор выпуска
	0	0	0	10	90	0	100

Рассмотрим теперь игру трех лиц , где

Игра не является неотрицательной и не имеет вето-игроков. Это не клановая игра. Однако после 0-нормализации получаем неотрицательную игру с характеристической функцией

неотрицательными маргинальными вкладами

и двумя вето-игроками (первым и вторым). Игра удовлетворяет условию (2) для CL={1,2}. Следовательно, - клановая игра с коалицией {1,2} в качестве клана.

Следующие два утверждения обобщают рассмотренные примеры.

Утверждение 1. Игра , удовлетворяющая (4) и условиям

(5)

(6)

стратегически эквивалентна монотонной игре большого босса с игроком в качестве босса.

Доказательство. Игра стратегически эквивалентна игре , где

(7)

Согласно (6), т.е. удовлетворяет (3). Из (5) и (7) следует, что т.е. игра монотонная. Если , то из (4) и (7) получаем

Значит, игра удовлетворяет (4). Доказано, что – монотонная игра большого босса с игроком в качестве босса. „

Утверждение 2. Пусть . Игра , удовлетворяющая (2) и условиям

(8)

(9)

стратегически эквивалентна клановой игре с коалицией CL в качестве клана.

Доказательство. Рассмотрим стратегически эквивалентную игру , определенную (7). Согласно (8), для и для . Значит, – неотрицательная игра, удовлетворяющая (1). Согласно (9), для всех справедливо

т.е. маргинальные вклады неотрицательны для всех агентов игры . Аналогично доказательству утверждения 1, получаем, что удовлетворяет условию (2). Доказано, что – клановая игра с коалицией в качестве клана. „

Множество клановых игр лиц с кланом и множество игр большого босса (монотонных и немонотонных) с игроком в качестве босса обозначим через и соответственно. Как уже говорилось, клановая игра с одноэлементным кланом является игрой большого босса (монотонной или не монотонной). Покажем, что существуют клановые игры, в которых ни один из членов клана не является боссом.

Рассмотрим неотрицательную игру четырех лиц с характеристической функцией

, , , ,

для остальных .

Маргинальные вклады игроков неотрицательны

, , , .

Для выполняется свойство клана (1) и условие союза (2), т.к.

,

а для -элементных коалиций неравенства из (2) имеют вид , т.е. всегда выполняются. Таким образом, данная игра – клановая и мощность клана больше двух. Очевидно, что первый и второй агенты являются вето-игроками, т.е. для kÎ{1,2} выполняется условие (3). Однако ни игрок 1, ни игрок 2 не является боссом, т.к. не выполняются неравенства

,

из условия (4).

Возникает вопрос: существуют ли клановые игры , с мощностью клана , которые принадлежат хотя бы одному из классов , для ? Положительный ответ следует из [3], где доказано, что игры единогласия двухэлементных коалиций являются клановыми играми с кланом , а также играми большого босса с каждым из игроков в качестве босса. Более двух боссов клановая игра иметь не может.

Принадлежность одноточечных решений -ядру игры считается их положительным свойством, а идеальным - случай, когда -ядро состоит из единственного дележа. Тем не менее, С-ядра клановых и близких к ним игр иногда содержат контр-интуитивные дележи. Выигрыш члена клана может быть нулевым, в то время как малого игрока – максимально возможным в С-ядре. И наоборот, вся прибыль от кооперации распределяется между членами клана (или достается боссу). Численный эксперимент показывает, что в клановой игре ненулевые игроки часто получают нулевые выигрыши. В таких играх значение Шепли (при бездотационном принципе распределения благ) и консенсус-значение [4] (при компенсационном принципе) более согласованы с экономическими ситуациями, порождающими клановые игры, чем дележи из -ядра.

Литература:

1. Potters J., Poos R., Tijs S., Muto S. Clan games // Games and Economic Behavior. 1989. № 1. P. 275-293.

2. Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games // The Economic Studies Quarterly. 1988. № 39. P. 303-321.

3. Zinchenko A.B. Polytopes of special classes of the balanced transferable utility games // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2016. Vol. 10. No. 1. P. 145-154.

4. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. 2006. Vol. 28. № 4. P. 85-703.