Экономические науки/9.Экономика промышленности

К.т.н. Романов Б.А.

Московский бухгалтерский институт, Россия

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА, ВЫПОЛНЯЕМОГО ГРУППОЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ

Под инвестиционным производственным проектом будем понимать проект выпуска группой предприятий некоторой новой продукции и (или) внедрение новых технологий для выпуска старой продукции.

Ставится задача разработать математическую модель, позволяющую исследовать инвестиционный проект с различных точек зрения. В частности определить оптимальное требуемое количество ресурсов для обеспечения производства продукции, а также рассчитать оптимальную динамику процессов подготовки к производству и процессов производства продукции до момента окупаемости этого производственного проекта.

Выходными показателями этой модели должны быть:

- оптимальные производственные мощности предприятий, производящих конечную продукцию и предприятий, обеспечивающих это производство, динамика их наращивания в течение подготовительного (инвестиционного) периода производственного проекта;

- оптимальное количество трудовых ресурсов для обеспечения загрузки производственных мощностей предприятий в разрезе различных специальностей, динамика их наращивания в течение подготовительного (инвестиционного) периода производственного проекта;

- время подготовительного (инвестиционного) периода;

- динамика выпуска конечной продукции предприятиями в течение эксплуатационного периода;

- время эксплуатационного периода, необходимое для окупаемости проекта;

- стоимость инвестиций в проект, как функция времени.

Производственные мощности предприятий (линии по производству продукции) могут в первую очередь наращиваться за счет перепрофилирования избыточных мощностей предприятий-доноров в недостающие производственные мощности предприятий-реципиентов, а также за счет нового строительства. Требуемые трудовые ресурсы могут формироваться за счет переобучения сокращаемых работников предприятий-доноров на специальности, требуемые для обеспечения производства на предприятиях-реципиентах и за счет привлечения свободной рабочей силы.

Современные производственные процессы протекают в условиях технических и экономических рисков. Эти риски можно в определенной степени учесть, считая, что параметры организационных структур и производственных процессов имеют отклонения от некоторых средних значений. Желательно учесть возможный разброс значений параметров и определить их влияние на основные выходные данные реализуемого проекта.

Поскольку рассматриваемая задача формулируется как оптимизационная, то необходимо записать целевую функцию. Предполагается, что инвестиционный проект будет выполняться на предприятиях наряду с ранее запланированной деятельностью. Выпуск продукции в рамках инвестиционного проекта целесообразно представить в виде заданного ассортимента, поскольку производительность линий по выпуску этой продукции требуется определить.

В то же время целесообразно также оценить возможности по выпуску ранее запланированной продукции на имеющихся производственных мощностях. Будем рассматривать выпуск этой продукции как выпуск в свободном ассортименте.

При проведении перепрофилирования избыточных производственных мощностей предприятий в недостающие производственные мощности целесообразно минимизировать затраты этого процесса, а строительство новых производственных линий осуществлять с наименьшими затратами времени.

Задача определения возможностей реализации производственного проекта может быть поставлена в трех вариантах. В первом варианте требуется определить максимальный выпуск конечной продукции, утвержденной в производственном проекте, исходя из имеющихся ресурсов: значений имеющихся производительностей линий по производству продукции и имеющихся трудовых ресурсов.

Во втором варианте требуется определить максимальный выпуск этой конечной продукции с учетом как имеющихся линий по производству продукции, так и исходя из возможностей по перепрофилированию тех производственных линий, которые не предполагается использовать в заданном производственном проекте. В этом варианте предполагается переучивать работников с не загруженных производственных линий на профессии, которые требуются на перепрофилированных производственных линиях и таким образом обеспечивать их загрузку.

В третьем варианте требуется определить максимальный выпуск конечной продукции, предполагая, что наряду с использованием перепрофилирования производственных линий могут быть созданы дополнительные производственные возможности за счет нового строительства линий, цехов, подразделений и т.д. Поскольку эти возможности достаточно велики, и в то же время весьма неопределенны, то эту постановку задачи целесообразно заменить задачей определения тех дополнительных ресурсов, которые необходимы для выпуска заданного объема конечной продукции.

В общем случае целевую функцию можно представить в виде вектора, состоящего из нескольких компонент: выпуска продукции в заданном ассортименте, стоимости проведения перепрофилирования, выпуска продукции в свободном ассортименте. Время выполнения этих процессов также должно быть включено в целевую функцию.

Для учета технических и экономических рисков будем считать элементы множества параметров задачи случайными величинами, распределенными на конечных интервалах и предполагать известными характеристики их распределения. Требуется найти распределение и характеристики случайных величин – выходных показателей этой модели как функцию распределения исходных параметров.

Эту многокритериальную оптимизационную динамическую и стохастическую задачу можно сформулировать математически как задачу динамического стохастического многокритериального программирования. Однако решение этой задачи чрезвычайно сложно, если не считать вообще невозможно ввиду необходимости учета огромного количества вероятнее всего не совместных факторов и параметров.

Поэтому предлагается эту задачу прежде всего декомпозировать на задачу в детерминированной и стохастической постановке. В первой части алгоритма задача рассматривается в детерминированной постановке. Эту задачу можно сформулировать математически на основе модели межотраслевого баланса - модели «затраты-выпуск» В. Леонтьева [1]. Модель «затраты-выпуск» применима как к экономике государства в целом, так и к экономике группы предприятий, выполняющих согласованный ими инвестиционный производственный проект. Это вытекает из принципа баланса затрат и выпуска для замкнутых экономических систем или из еще более общих принципов действия физических процессов, таких как непрерывность струи жидкости и пр.

Однако на основе только этой модели описать все динамические производственные процессы на уровне предприятия чрезвычайно сложно. Поэтому в предлагаемом алгоритме исследования инвестиционного проекта модель «затраты-выпуск» используется в статической постановке как многокритериальная оптимизационная задача. Смысл решения этой задачи заключается в том, что результат решения представляет собой точку в фазовом пространстве этой задачи, отстоящую от начальной точки на отрезок времени подготовительного периода инвестиционного проекта.

Далее остается найти траекторию движения этой точки в фазовом пространстве от начала до конца подготовительного периода. Учитывая, что алгоритм предназначен для исследования оптимальных характеристик инвестиционного проекта, целесообразно находить эту траекторию по критерию минимума затраченного времени (задача на быстродействие). Здесь также можно привести аналогию с механическим движением, которое осуществляется по критерию минимума действия.

Траектория движения точки в фазовом пространстве находится с помощью группы динамических оптимизационных моделей, отражающей производственные процессы на предприятиях в подготовительный период. Эти модели представлены в дискретном по времени виде и построены на основе принципа динамического программирования Р.Беллмана по критерию минимума времени, затраченного на выполнение производственных и обеспечивающих производство процессов.

Эксплуатационный период инвестиционного производственного проекта начинается непосредственно после подготовительного периода, после того как все подготовительные мероприятия завершены. Ядро динамической модели работы предприятия этого периода совпадает с ядром моделей подготовительного периода в части закладки, производства и выпуска продукции. Отличие состоит в дополнении модели периода эксплуатации элементами, позволяющими более детально рассчитывать такие показатели, как выручку от продажи продукции в условиях рыночной реализации, необходимые затраты и другие финансовые показатели деятельности предприятия. Модель эксплуатационного периода реализации инвестиционного проекта, как и модели подготовительного периода, сформулирована в виде конечно-разностных по времени уравнениями.

Задачу реализации инвестиционного производственного проекта группы предприятий в принципе можно сформулировать в игровой постановке, учитывая возможную несогласованность целей и задач и даже противоборство отдельных предприятий. В данном алгоритме предполагается, что производственный проект, подлежащий реализации, одобрен и согласован всеми предприятиями, участвующими в его реализации. Более того, предполагается, что между этими предприятиями установлены договорные отношения, определяющие обязательства, связанные с реализацией производственного проекта, в частности, обязательства по объемам и срокам поставки продукции, по инвестициям в проект и т.д. В этом случае реализация проекта будет осуществляться по заранее согласованному плану.

Во второй части модели исследования инвестиционного производственного проекта задача рассматривается в стохастической постановке. Разработаны стохастические аналоги алгоритмов решения статической и динамической оптимизационных задач. Для статических оптимизационных задач в практических приложениях используются задачи двух типов. В задачах первого типа определяются статистические характеристики множеств идентичных экстремальных систем с отличающимися численными значениями параметров. Задачи такого типа называются задачами пассивного стохастического программирования.

Задачи второго типа предназначены для построения методов и алгоритмов управления в условиях неполной информации. При этом в задачах второго типа всегда присутствует этап наблюдения за системой. Поскольку наблюдение за системой в ходе решения экстремальной задачи в нашем случае не предполагается, то остается выбрать постановку задачи стохастического программирования первого типа.

Пассивный подход в стохастическом программировании рассматривался ранее Д.Б.Юдиным [2]. Им был разработан приближенный метод решения общей задачи на основе неравенства (теоремы) П.Л. Чебышева. Эта проблема также исследовалась в работах Э.Б.Ершова, Б.Л. Лавровского, Н.Я. Петракова и В.И. Ротаря [3-5] применительно к модели «затраты-выпуск», где получены результаты при определенных ограничениях. В предлагаемом алгоритме выполнено обобщение этих работ на более широкий круг исходных неопределенных параметров и типов вероятностных распределений (равномерного и нормального).

Для стохастического аналога динамических оптимизационных задач (подготовительного периода и периода эксплуатации) в работе М.Е.Невельсона и Р.З.Хасьминского [6] показано, что рассматриваемый динамический дискретный процесс может быть описан цепями Маркова. На основе такого представления автором данной статьи получены выражения для функции распределения закладки и выпуска продукции на предприятиях, а также формулы их математического ожидания и дисперсия на каждом шаге процесса для равномерного и нормального распределения исходных параметров.

В итоге на основе разработанных задач можно рассчитать требуемый объем инвестиций в производственный проект как функцию времени и собственно период времени окупаемости этого проекта. В качестве примеров проведены расчеты подготовительного (инвестиционного) периода по расширению производства автомобилей сборочным предприятием и периода эксплуатации по выпуску продукции «Московским заводом домашних холодильников» [7].

Литература

1. Леонтьев В.В. и др. Исследования структуры американской экономики. Перев. с англ. Госстатиздат, 1958.

2. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации (Задачи и методы стохастического программирования). – М.: Советское радио, 1974.- 400 с.

3. Ершов Э.Б. Решение обобщенной статической модели межотраслевого баланса. Материалы к конференции по опыту и перспективам применения математических методов и ЭВМ в планировании.- Новосибирск, 1962.

4. Лавровский Б.Л. Исследование свойств вероятностной модели межотраслевого баланса производственных мощностей. – В кн. Оптимизационные и балансовые модели народного хозяйства. – Новосибирск, Наука, 1977.- 251 с.

5. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. М.: Наука, 1985.-223 с.

6. Невельсон М.Е., ХасьминскийР.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1972.- 304 с.

7. Романов Б.А. Математическая модель реализации предприятиями инвестиционного производственного проекта. М.: РИОР, 2010. – 330 с.