Холодная А.В., Рафиков Г.Ш.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Оптимальное управление системой

«испаритель – перегреватель» парового котла с естественной циркуляцией типа Е

Многомерные  системы  управления (МСАУ)  имеют  чрезвычайно  широкое распространение  в  различных  областях техники.  Они  характеризуются  рядом особенностей,  существенно  затрудняющих анализ  и  синтез  применительно  к прикладным  задачам.  К «неприятным» особенностям МСАУ относят их сложность при  большом  числе  каналов,  высокий порядок  соответствующих  дифференциальных  уравнений,  а  также трудности  определения  структуры регуляторов  и  обеспечения  требуемых динамических свойств.

Управление «испарителем – перегревателем» парового котла можно осуществлять путем стабилизации подачи воды, сделав  ее независимой от давления пара на выходе из котла. [1] Можно также поставить два регулятора температуры (пара и воды), но тогда нужно будет каким либо образом согласовывать их работу между собой. [2]

Наиболее рациональным, описанным в данной работе, является оптимальное управление паровым котлом по обобщенному квадратичному критерию качества. [3]

В данной работе рассмотрена многомерная система «испаритель – перегреватель» парового котла с естественной циркуляцией. Целью управления является оптимизация расхода воды и топлива на входе системы и получение требуемых характеристик пара на выходе.

Рассмотрена система «испаритель – перегреватель» с точки зрения физических процессов, происходящих в ней, а также с точки зрения многосвязности.

Исходя из канонического описания объекта в пространстве состояний [4], уравнения состояния и выхода для этого объекта записываются следующим образом:

              ,           (1)

                         ,                                    (2)

Представив систему в дискретном виде, описанную векторно-матричным разностным уравнением вида:

                          ,                                (3)

где   - n-мерный вектор состояния объекта управления;

 - m-мерный вектор управления;

 - матрица перехода состояний объекта управления размерности (n´n);

 - матрица управляемого перехода объекта управления размерности  (n´m).

Для синтеза линейно-квадратичного регулятора оптимальной дискретной динамической системы выбран обобщенный критерий оптимальности, в силу того, что данный критерий содержит в себе составляющую, характеризующую точность работы системы (просуммированная ошибка динамической системы в переходном процессе) и составляющую, характеризующую расход энергии на управление, а также косвенно быстродействие сиcтемы. Таким образом, применяя всего один критерий, мы можем контролировать сразу несколько важнейших параметров системы.

Согласно критерию оптимальности, для обеспечения оптимального управления требуется определить такой вектор , который бы доставлял минимум квадратичному критерию качества [4]

 

    .     (4)

В результате решения оптимизационной задачи получен алгоритм оптимального управления вида:

,                                                          (5)

где К – матрица обратной связи линейно-квадратичного регулятора размерности (m´n).

Для уравнения (4) исследуемой системы «испаритель-перегреватель» парового котла, использована матрица Q – симметричная неотрицательно определенная размерности [11´11] вида:

 

,                    (6)

 

где qi – варьируемые коэффициенты.

Матрицу R выберем в виде матрицы размерности (2´2), т.е.

 ,                                                       (7)

где ri – варьируемые коэффициенты.

Решение задачи оптимизации проведем методом множителей Лагранжа с использованием преобразования Риккати [4]. Для этого вводится функционал Лагранжа вида:

                                          (8)

,

где  - вектор множителей Лагранжа.

Необходимо вычислить частные производные от функционала Лагранжа по векторам: .

                                        (9)

                                      (10)

                                      (11)

                                       (12)

    (13)

 (14)

 

Упростим полученные уравнения

                                          (15)

     ,                                   (16)

     ,              (17)

 

Для уравнения (17) определено начальное условие

.

Чтобы получить решение задачи минимизации нужно решать выражения(14) и (17) одновременно. Решение основано на уравнении Риккати. Используя преобразование Риккати оптимальный вектор управления может быть получен в замкнутой форме

,                                                 (18)

где К(к) – матрица коэффициентов обратной связи для многомерной динамической системы.

В результате использования уравнения Риккати можно получить вектор оптимального управления  для замкнутого контура. Использование преобразования Риккати состоит в следующем

                                                ,                                       (19)

где Р(к) – симметричная положительно определенная либо  положительно полуопределенная матрица. Подставляя (19) в (14) получим

                          .                      (20)

Подставляя (20) в (17) получим

                           .             (21)

Уравнение вида (20) и (21) не содержит вектора (k). Таким образом мы исключили влияние вектора (k), процесс преобразования, использованный в данном случае, называется преобразованием Риккати.

Для управляемой системы матрица Р(k+1) должна быть положительно определенной.

После некоторых преобразований из уравнения (20) мы получаем уравнение Риккати в следующем виде:

.    (22)

Будем решать это уравнение итерационным методом. Значение матрицы Р на нулевом шаге примем равным нулевой матрице, размерностью (11´11). Будем продолжать итерации до тех пор, пока норма матрицы, равной разности между матрицами Р на k-ом и (k+1)-ом шагах дискретности, не будет меньше заданной точности, равной 0.001.

Установившееся значение матрицы К может быть получено в зависимости от Р следующим образом

                                        .                              (23)

После подстановки Р и некоторых преобразований получим

                                        .                               (24)  

Зададимся конкретными значениями матриц Q и R таким образом, чтобы получить наилучшее с точки зрения оптимальности решение уравнения:

 

,   .

Используя пакет прикладных программ MAТLAB и подставляя численные значения в приведенные формулы получим оптимальный регулятор по обобщенному квадратичному критерию качества:

.

Проведя моделирование в пакете прикладных программ MatLab, получены следующие переходные процессы для данной системы.

Рисунок 1 – Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие

Рисунок 2 – Реакция системы на ненулевые начальные условия

Из анализа графиков переходных процессов можно сделать вывод, что система отрабатывает единичное ступенчатое воздействие со следующими  параметрами:

-             перегреватель за 120 шагов (при шаге дискретности Т0=0.1 с), т.е. за 12с с незначительным перерегулированием, порядка 5-7%, и без ошибки рис.1;

-             испаритель за 10с с перерегулированием 5-7% без ошибки. Связь перегреватель-испаритель практически отсутствует, незначительные колебания около 2-3%;

-             у связи испаритель-перегреватель есть колебания, но они приходят к нулю, связи фактически тоже нет.

Из анализа приведенных рисунков можно сделать вывод, что путем теоретического моделирования получен регулятор, с помощью которого связи между испарителем и перегревателем почти полностью скомпенсированы. И для испарителя и для перегревателя мы имеем допустимые показатели качества.

Выводы:

1.     Получена модель системы «испаритель – перегреватель» в пространстве состояний.

2.     Сформулирована постановка задачи оптимального управления подачей воды и топлива в паровой котел с естественной циркуляцией.

3.     Решена задача определения закона управления, который доставляет минимум квадратичному критерию качества.

4.     В результате моделирования оптимального регулятора выяснено, что контролируемые параметры приведены в допустимые пределы.[5]

Литература

1.                     Тепловые схемы котлов /А.А,Паршин, В.В.Митор, А.Н. Безгрешников и др.- М.: Недра, 1987.

2.                     Изерман Р. Цифровые системы управления. Перевод с английского. М. – Мир, 1984г.

3.                     Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М. – Энергоатомиздат, 1985

4.                     Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных систем управления/пер. с англ. Под ред. Я.З. Цыпкина. – М.: Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1985г.

5.                     Кузьменко Д.Я. “Регулирование и автоматизация паровых котлов.” М. Энергия 1987г.