О свойствах горизонтальных лифтов векторных полей на расслоении Вейля над тензорным произведением двух алгебр дуальных чисел

Я.В.Никитина

Аннотация

В настоящей работе строятся горизонтальные лифты векторных полей в расслоение Вейля над тензорным произведением двух алгебр дуальных чисел. Получены коммутаторные тождества для этих лифтов.

The summary

In this paper, we construct horizontal lifts of vector fields in Weil bundle over the tensor product of two algebra of dual numbers. Commutator identities are obtained for these lifts.

Ключевые слова

Расслоения Вейля, алгебра дуальных чисел, векторное поле, горизонтальные лифты векторных полей.

Keywords

Weil bundles, the algebra of dual numbers, vector field, horizontal lifts of vector fields.

Введение

Расслоения - близких точек, где - локальная алгебра в смысле А.Вейля, были введены А. Вейлем в 1953г. [3]. Эти расслоения впоследствии были названы расслоениями Вейля. Примерами этих расслоений являются касательные расслоения, расслоения струй С.Эресмана. Изучению расслоений Вейля посвящены работы В.В.Шурыгина [2] и его учеников, И.Коларжа [4], А.Моримото [5] и многих других авторов.

В настоящей работе строятся горизонтальные лифты векторных полей в расслоение Вейля , где алгеброй является тензорное произведение двух алгебр дуальных чисел, а также получены коммутаторные тождества горизонтальных и естественных лифтов.

§1. Необходимые сведения

Пусть - алгебра дуальных чисел над полем действительных чисел .

Тензорное произведение порождается элементами . Обозначим их символами соответственно. Эти элементы являются линейно независимыми, поэтому образуют базис алгебры . Векторное пространство линейных форм, заданных на со значениями в поле является четырехмерным, его базис составляют линейные формы , определенные условиями для каждого элемента алгебры . Легко заметить, что имеют место равенства:

.

Кроме того, для любого элемента имеем

,

поэтому .

Составим таблицу умножения базисных элементов на линейные формы дуального базиса :

		0	0	0
			0	0
		0		0

Пусть - -мерное связное гладкое многообразие класса , а - алгебра гладких класса функций, заданных на , принимающих значения в [1]. Точкой, - близкой к точке , называется гомоморфизм , удовлетворяющий условию: . Множество точек, - близких к , обозначим через , а обозначим через . Отображение , определенное условием , называется канонической проекцией, а тройка - расслоением Вейля. На тотальном пространстве возникают структуры гладких многообразий над алгеброй и над .

Для функции , функция называется вертикальным лифтом, а функция , определенная условием для всех , называется естественным продолжением функции в расслоение Вейля . Оно определяется следующим образом:

,

где по ведется суммирование от 1 до 3.

На функции порождают вещественнозначные функции для каждой линейной формы .

.

Проведя прямые вычисления, получим формулы для определения лифтов функций , и :

,

,

,

где по ведется суммирование от 1 до 2.

Для векторного поля на определим лифты условиями

. (1)

На основании формул (1) лифты векторных полей определяются следующим образом:

,

где по ведется суммирование от 1 до 3; по - суммирование от 1 до 2,

,

.

§2. Горизонтальные лифты векторных полей

Пусть на базе расслоения Вейля задана линейная связность . Тогда для любого векторного поля можно найти ковариантный дифференциал по формуле:

. (2)

Пусть - карта гладкого атласа многообразия , - поля натурального репера на . Тогда

,

где - коэффициенты линейной связности.

Обозначим . На основании (2) получим следующее локальное представление ковариантного дифференциала: .

Функции называются составляющими ковариантных производных векторного поля .

Перейдем к построению горизонтальных лифтов векторного поля . Для этого возьмем естественные лифты , где . Выразим частные производные через ковариантные производные :

, (3)

где - линейная связность, полученная из по правилу: .

Найдем вторые частные производные :

. (4)

Вычислим горизонтальные лифты векторных полей, используя для этого выражения их естественных лифтов.

.

Используя естественный лифт , найдем:

.

Полученную формулу запишем в следующем виде:

, (5)

где , а . Можно показать, что является векторным полем на . Поэтому, также будет векторным полем. называется - горизонтальным лифтом векторного поля .

Далее, взяв естественный лифт , получим

.

Положив , полученное равенство запишем в виде . Здесь . Векторное поле называется - горизонтальным лифтом векторного поля .

Для введения следующего горизонтального лифта векторного поля возьмем полный лифт и частные производные выразим через ковариантные по приведенным выше формулам (3), (4):

. (6)

Обозначим

,

. .

Можно доказать, что является векторным полем на [1].

Тогда равенство (6) примет вид , а будет являться векторным полем на расслоении . Это векторное поле называется полным горизонтальным лифтом векторного поля .

Поскольку , то, окончательно получим, горизонтальные лифты векторного поля с базы на имеют следующий вид:

,

,

,

.

§3. Коммутаторные соотношения

Рассмотрим коммутаторы , , полного горизонтального лифта с лифтами естественного типа , где .

Используя тождество (5) найдем, что

. Здесь , а . Дальнейшие вычисления проведем, используя локальные координаты:

.

Поскольку , зависят лишь от базовых координат, то получим

, .

Далее, прямыми вычислениями находим:

.

Теперь вычислим коммутатор .

.

Итак, окончательно находим:

.

Следовательно,

.

Значит,

.

Аналогично находим:

.

Теперь вычислим коммутатор :

.

Найдем :

.

Используя полученное равенство, найдем

,

поэтому, .

Таким образом, доказана

Теорема. Полный горизонтальный лифт и естественные лифты векторных полей удовлетворяют тождествам:

,

,

.

Литература

1. А.Я.Султанов. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля.; // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. №9. С. 64-72.

2. В.В.Шурыгин. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля.; Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М., 2002. С. 162-236.

3. A.Weil. Theorie des points proches sur les varieties differentiables, Colloque internat. Centre nat. rech. Sci. Vol. 52. Strasbourg, 1953. Pp. 111-117.

4. I. Kolář. Affine structures on Weil bundles.; Nagoya Math. J. 2000. Vol. 158. Pp. 99-106.

5. A.Morimoto. Prolongation of connections to tangent bundles of near points. J.Different. Geom. 1976. Vol. 11.,4. Pp. 479-498.

Сведения об авторе:

Никитина Яна Владимировна, аспирант кафедры алгебры ПГУ