Педагогические науки/5.Современные методы преподавания

  

Даулетбаева Ж.Д., старший преподаватель

 

Костанайский государственный университет, Казахстан

 

Интегрирование уравнения математической физики методом Фурье

 

Большинство физических явлений в таких областях, как динамика жидкости, электричество и магнетизм, механика, оптика, теплопередача могут быть описаны с помощью уравнений с частными производными. Большинство уравнений математической физики – это уравнение с частными производными.

  В математических уравнениях они соответствуют состоянию физического процесса в начальный момент  времени, который обычно принимают за . Однако, начальные условия задаются для нестационарных уравнений, то есть таких уравнений, которые описывают нестационарные (зависящие от времени) процессы. Это – волновое уравнения и уравнения теплопроводности[1].

      Для волнового уравнения  задаются два нескольких условия:

                     

Первое условие физически задает начальную форму струны (начальное отклонение точек струны), а второе условие начальные скорости точек струны. Если размеры струны не очень велики и влияние концов нельзя пренебречь, то в этих случаях одни начальные условия не обеспечивают единственность решения задачи. Тогда необходимо задавать  условия  на концах, они называются граничными условиями. Для уравнения колебании струны часто задаются условия:

                             

Эти условия физически означают что концы струны закреплены (то есть отклонение при     и    в любой момент времени равны нулю).

Так как  силы, действующие на левый и правый концы струны, определяются выражениями  и , то записанные выше условия означают, что на концы струны не действуют никакие силы (поэтому такие условия называют еще условиями свободных концов).

  Обычно рассматриваются три типа граничных условий:

1)     Граничные условия первого рода  

                                                     (1)

Эти условия физически означают, что на концах заданы режимы колебаний.

2)     Граничные условия второго рода

                                                         (2)

Такие условия соответствуют тому, что на концах заданы силы.

3)     Граничные условия третьего рода

                                                                            (3)

Эти условия соответствуют упругому закреплению концов.

Граничные условия (1), (2) и (3) называются однородными, если правые  части  тождественно равны нулю при всех значениях . Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными. Совокупность граничных и начальных условий называют краевыми условиями.

Дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу. Решить краевую задачу – значит найти решение данного уравнения, удовлетворяющее краевым условиям, входящим в задачу. А для решения такой краевой задачи существует целый арсенал методов, пригодных для практического использования. Наиболее важны те, в которых уравнения с частными производными  сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям[2].  

  Одним из таких методов является метод Фурье. Этот метод часто встречается и под другими названиями – метод разделения переменных или метод собственных функций. Метод Фурье – один из распространенных и эффективных методов решения краевых задач для уравнений с частными производными.

   Основная идея этого метода состоит в том, что решение конкретной краевой задачи для уравнения с частными производными сводятся к решению вспомогательных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений или для уравнений с частными производными, но с меньшим числом независимых переменных.

     В данной статье рассматривается  решение краевой задачи для нестационарных уравнений (волнового уравнения) методом Фурье.

Задача: Методом Фурье решить следующую краевую задачу[3]:

                                                                                            (4)

                                                                                 (5)

                                                                (6)

Алгоритм решения:

1.     Искать решение уравнения (4) в виде

2.     Решить вспомогательную задачу

                           c граничными условиями

      3. Решить уравнение

                               

      4. Написать решение уравнения (4)

      5. Определить коэффициенты  и  используя начальные условия (5)

      6. Записать решение краевой задачи (4)-(5)

Решение:

                                                                                             (7)

                (7)(4)  для этого находим

                                                                 (8)

               (8) (4)

               

                                                                                                (9)

                                                                                                  (10)

Сначала решаем уравнение (9) с граничными условиями (6)

 

Собственные функции  имеют вид:                                       (11)                                                                    

Подставляя найденные значения    в уравнение (10) и решим его.

Тогда   

                       

                                                                    (12)

          (11) и (12)  в (7)

получим

                

Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В силу линейности и однородности уравнения (4) их линейная комбинация

                                              (13)

Также будет решением этого уравнения, причем функция   удовлетворяет граничным условиям (6).

Определим коэффициенты  и   в (13), используя начальные условия (5).

                                                                           (14)

        

                                                                       (15)

Формулы (14) и (15)являются разложением функции  и  в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1) нам известно, что коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

                                                                                     (16)

Найденные коэффициенты   и  подставляя в формулу (13), получим решение краевой задачи (4)- (6)    

 

Литература:

1. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики М.: МЦНМО,2003-303 с.

2. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики М.: Наука «Физматлит»,1975,128с.

3. А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов Задачи по математической физике Издательство МГУ, 1998,350 с.