*112780*

Математика/5. Математическое моделирование

Д.т.н. Тарануха Н.А., к.т.н. Петрова А.Н., Любушкина Н.Н.

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ С БОЛЬШИМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ УЗЛОВ

Большие перемещения узлов конструкции возникают либо при больших деформациях стержней, либо из-за геометрических особенностей конструкции и направления и точки приложения сил к ней. Первый вариант описывается в уравнениях через закон деформирования, а второй учитывается при геометрически нелинейном описании задачи.

Рассмотрим конструкцию, в которой сочетаются обе причины. Пример такой системы, приведен на рис. 1. Узел и₃ в результате нагружения силой Р будет совершать большое перемещение, так как углы наклона a₁ и a₂ стержней 1 и 2 будут значительно увеличиваться, к тому же материал, из которого выполнены стержни относится к гиперупругим, т.е. допускающим до 100 и более процентов деформации.

Рис. 1 Схема нагружения конструкции

Постановка задачи. Груз массой М₁ подвешен на двух стержнях, выполненных из материала, имеющего нелинейный закон деформирования. Масса груза изменяется в результате удара до М_∑, поэтому появляется динамическая составляющая в процессе деформирования и узел и₃ совершает колебания.

Составим математическую модель задачи. В нее войдут:

- уравнения равновесия:

N₁m₁+N₂m₂=P_x,

N₁n₁+N₂n₂=P_y,

- условия геометрической неизменности [1]:

l₁ m₁+l₂ m₂= l₀₁ m₀₁+l₀₂ m₀₂,

l₁ n₁+l₂ n₂= l₀₁ n₀₁+l₀₂ n₀₂,

m₁²+ n₂²=1,

m₁²+ n₂²=1,

- закон деформирования [2]:

,

- уравнение, описывающее связь между перемещением узла и деформацией в стержнях в общем виде:

Dl_i=f(q₃),

(в данном случае Dl_i можно найти из соотношений треугольника или как расстояние между двумя точками с заданными координатами)

- дифференциальное уравнение колебания узла:

, (1)

где N_i – усилие в i-том стержне;

m_i=cos(a_i), n_i=sin(a_i) – направляющие косинусы стержня i после нагружения к осям X и Y соответственно;

m_0i, n_0i – направляющие косинусы стержня i до нагружения;

P_x, P_y – проекции суммарной силы, приложенной к узлу 3 на соответствующие оси;

l_i, l_0i – длина стержня до и после деформации;

- деформация стержня i;

F() – площадь поперечного сечения при деформации ;

Е() – приведенный модуль упругости деформации [2];

b – коэффициент сопротивления среды (внутренней и внешней);

М^С – суммарная масса, сосредоточенная в узле конструкции;

С_S(Δl) – суммарный коэффициент жесткости стержней.

Первая часть системы уравнений описывает статику, а последнее уравнение динамику системы.

В уравнении (1) учитывается, что при большой деформации циклическая частота и коэффициент затухания зависят от жесткости системы, уравнение является нелинейным относительно жесткости.

Была выдвинута гипотеза: искать решение дифференциального уравнения квазигармонических колебаний (1) для больших деформаций в виде [2]:

. (2)

Начальные условия для задачи определены следующие:

q(t, C_S(Δl)) = q₀; q^/(t, C_S(Δl)) = q₀^/. (3)

Главной особенностью закона колебания является то, что частота, коэффициент затухания, амплитуда и начальная фаза колебания зависят от существующих в конкретный момент времени в колеблющейся системе удлинения и фактической жесткости системы. Данное обстоятельство стало главным при выполнении итерационной процедуры расчета.

Решение (2) было получено с учетом независимости функций, входящих в данное уравнение, поэтому оно требует корректировки учета нелинейности входящих функций.

Для расчета предлагается следующий численный алгоритм поиска решения. Каждая итерация процедуры расчета состоит из следующих шагов:

t_i = t₀ + i ∙ h,

где h - шаг по времени

Δl_i = f(q_i, q₀),

.

Общее решение q(t) уравнения (1) для динамической системы найдено в виде суммы двух составляющих: динамического q_д(t) описываемого уравнением (2) и смещения q_с от действия статического нагружения [1] (по приведенной выше математической модели):

.

Значения функций l₁(C_S( Dl_i)), b(C_S( Dl_i)), А(C_S( Dl_i)) и (C_S( Dl_i)) уточняются на каждом шаге итерации для соответствующего удлинения Δl_i и фактической жесткости C_S(Δl_i),.

Полученное таким образом решение является численным, параметрически зависимым от коэффициента жесткости системы C_S (Δl).

Для подтверждения правильности предложенного решения был проведен эксперимент для рассчитываемой конструкции (рис. 1). На рис. 2 приведены графики колебательных процессов.

Рис. 2 Графики колебаний: 1 – эксперимент; 2 – расчет по предлагаемой
математической модели итерационно с пересчетом жесткости; 3 – расчет
без пересчета жесткости, 4 – решение уравнения (2) методом Рунге-Кутта

Из рис. 2 видно, что предложенная математическая модель и форма решения колебания стержневых систем с одной степенью свободы с большими перемещениями дает вполне удовлетворительные результаты, среднее значение среднеквадратичного отклонения составляет 0,004 % (методом Рунге-Кутта – 1,6 %).

Предложенные математическая модель и ее численное решение были использованы при расчете гидробиотехнического сооружения и дали хорошие результаты [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Тарануха, Н.А. Математическая модель шарнирной стержневой системы с большими перемещениями узлов. /Н.А.Тарануха, К.В.Жеребко, А.Н.Петрова, М.Р.Петров //Известия вузов. Строительство, 2003, № 3 – С. 12–18.

2. Тарануха, Н.А. Математическое моделирование колебательных процессов в стержне с большими деформациями /Н.А.Тарануха, А.Н.Петрова, Н.Н. Любушкина; ГОУВПО «КнАГТУ». –Комсомольск-на-Амуре: –2007. –19 с. –Деп. в ВИНИТИ 26.09.2007. 903-B2007.

3. Тарануха, Н.А. Механика морских динамических систем с большими деформациями из нестандартизированного материала /Н.А. Тарануха, А.Н. Петрова, Н.Н. Любушкина. //Морские интеллектуальные технологии, 2010, №3 (9) –С. 56-59.