*112938*

Терелянский Павел Васильевич,

к.т.н., д.э.н., доцент, Волгоградский государственный технический университет,

Костикова Анастасия Владимировна,

магистр экономики.

Динамические функции принадлежности первого, второго, третьего и четвертого типов

Многие характеристики объектов можно описать числами с нечеткой функцией принадлежности. Эволюция всякой системы влечет за собой изменение характеристик во времени [1-3]. В качестве примера нечеткого динамического моделирования рассмотрим пример построения функция принадлежности нечеткому множеству «Молодой» (рис. 1,а). Согласно утверждениям экспертов, в современных условиях люди в возрасте от 15 до 30 оценивается экспертами как бесспорно молодые, а от 50 и выше – немолодые. В диапазоне от 31 до 50 эксперты высказывает расплывчатое мнение. Если мы рассмотрим период 13-14 веков, когда средняя продолжительность жизни колебалась от 17,3 до 32,7 года, то функция принадлежности к понятию «молодой» примет другой диапазон значений. Для этого исторического периода «молодыми» считались лица в возрасте до 10 лет. На рисунке 1,б представлена динамика функции принадлежности нечеткому множеству «Молодой» для трех временных периодов в декартовом пространстве (абсцисса – ось времени, ордината – степень принадлежности, аппликата – область определения нечеткого значения), что сопровождается сдвигом функции принадлежности относительно абсциссы и перерождением как самого исследуемого пространства из двумерного в трехмерное, так и самой функции принадлежности в поверхность. Ряд проведенных авторами исследований показал, что выявленная динамика нечетких множеств наблюдается во всех эволюционирующих системах. Динамическое нечеткое множество может быть представлено в виде поверхности, а график функции принадлежности нечеткому множеству – в трехмерной системе координат, где одна из осей на графике будет фиксировать его изменение во времени. Установленная динамика нечетких множеств приводит к возникновению проблемы получения актуального решения на определенный момент времени с соответствующими экспертными оценками. Основополагающей задачей становится получение степеней принадлежности на всем временном диапазоне анализа.

Рисунок 1. а – динамика функции принадлежности нечеткому множеству «Молодой»; б - динамическая функция принадлежности нечеткому множеству «Молодой»

Проведенный анализ показал, что во времени изменяется степень принадлежности множеству;  изменяется само нечеткое множество; одно и то же нечеткое множество может быть представлено разными функциями принадлежности, которые изменяются во времени;  при изменении каких-либо факторов, влияющих на состояние системы, возникает вероятность  изменения оценок экспертов относительно принадлежности элементов нечеткому множеству, что вполне объективно влечет за собой изменение  графика функции принадлежности. Нечеткое множество изменяется, и значит, обладает набором переходных состояний во времени. Отсюда, нечеткое множество можно представить как функцию от времени .

Определение 1. Динамической функцией принадлежности  называется функция,  которая каждому элементу, xÎX, ставит в соответствие число из интервала  [0;1] и позволяет вычислить степень принадлежности каждого элемента динамическому нечеткому множеству  в любой момент времени.

Определение 2. Пусть X – некоторое множество. Динамическим нечетким подмножеством A ~ множества X называется множество пар   xÎX.

Определение 3. Динамическое нечёткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, для которого его функция принадлежности определяется как функция нескольких переменных, одна из которых параметр времени t.

Для функции принадлежности динамического нечеткого числа соблюдаются условия нормальности и выпуклости. Динамическое нечеткое множество называется нормальным, если максимальное значение его функции принадлежности равно 1. Формально это означает, что для нормального нечеткого множества необходимо выполнение следующего условия . Динамическое нечеткое множество  с универсумом Х называют выпуклым, если его функция принадлежности  удовлетворяет следующему неравенству для любых значений , при которых  и .

Построенная на рис. 1,б динамическая  функция принадлежности аппроксимируется множеством одномерными функций принадлежности (рис. 1,а). Поверхность в данном случае образуется множеством последовательных положений плоских одномерных функций принадлежности, перемещающихся в пространстве состояний системы во времени. Каждая функция принадлежности будет называться образующей поверхности. Если образующая есть плоская кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности, представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений ... Форма поверхности будет зависеть от вида определенных в разные моменты времени функций принадлежности. Выбор вида функций принадлежности зависит от ряда субъективных факторов, которые обязательно присутствуют, так как выбор осуществляет ЛПР.

Нами определено четыре типа динамических функций принадлежности, исходя из взаимодействия двух факторов, определяющих вид трехмерного графика: изменение типа одномерных функций принадлежности, заданных экспертами в различные моменты времени и изменение интервала значений параметра, степень принадлежности которого нечеткому множеству определяется с помощью функции принадлежности.

Первый тип динамической функции принадлежности может быть построен в случае, если в любой точке на выбранном временном интервале тип исходной одномерной функции и интервал анализируемого параметра Х оставались неизменным. Изменялась только степень принадлежности параметра х нечеткому множеству во времени. К этому типу относится рассмотренный пример с возрастной оценкой нечеткого множества «молодой», проиллюстрированный на рисунке 1,б.

При малейшем изменении интервала, определяющего параметр Х в любой момент времени, при неизменном виде одномерных функции принадлежности поверхность приобретает вид ломанной (рис. 2,а).

Третий тип динамической функции принадлежности представлен на рисунке 2,б. В данном случае происходит изменение вида исходных одномерных функций в разные моменты времени, при этом анализируемый интервал значений параметра Х остается постоянным.

Рисунок 2. Динамические функции принадлежности второго (а), третьего (б) и четвертого (в) типов

Динамическая функция принадлежности четвертого типа характеризуется полной изменчивостью. Оба фактора, влияющих на вид динамической функции изменяются во времени. График представляет собой ломанную и остроконечную поверхность (рис. 2,в).

 

Литература:

1.     Непараметрическая экспертиза объектов сложной структуры: Монография / П.В. Терелянский. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2009. – 221 с.

2.     Терелянский, П. В. Компьютерная система принятия решений с прогнозированием динамики предпочтений / П. В. Терелянский // Международная конференция по проблемам управления, Москва, 29 июня-2 июля 1999г. : тез. докл. – М., 1999. – Т. 2. – C. 342-344. – 0,3 п. л.

3.     Терелянский, П. В. Применение системного анализа в маркетинговых исследованиях / П. В. Терелянский // Сборник трудов молодых ученых : (по матер. работы 35-й ежегод. науч. конф. ВолгГТУ). Секция "Макроэкономические проблемы устойчивого развития..." / ВолгГТУ. – Волгоград, 1998. – C. 36-42. – 0,47 п. л.