*112972*

Татьянников Д.А., к.т.н., доц. Сон М.П.

Пермский национальный исследовательский

политехнический университет, Россия

Разработка нового метод расчета статически неопределимых арочных конструкций с помощью линий влияния

Арка — это криволинейный брус плавного обриса, несущая строительная конструкция. В отличие от балки в арке возникает горизонтальная опорная реакция (распор). В строительстве арки используются в качестве элементов покрытия при больших значениях пролетов. Они являются экономичнее балок и ферм, перекрывающих те же пролеты и находящихся под той же нагрузкой. Как правило, арки выполняются из природных материалов (дерево, камень).

Так, например, в нашей стране широкое применение нашли деревянные арки, которые применяются в покрытиях производственных промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий, имеющих пролеты 12...80 м. Так же повсеместно как в Европе, так и в России присутствуют каменные арки, которые нуждаются в ремонте и как следствие новом расчете.

В общестроительной практике существуют несколько методов расчета арочных конструкций:

1. Аналитический метод. Для нахождения неизвестного по методу сил необходимо определять перемещения от единичной нагрузки и реального загружения, а так как арка – это криволинейный элемент, то мы не можем пользоваться правилом Верещагина, поэтому эпюры разбиваются на множество простых фигур удобных для применения названного правила, либо вычисляются интегралы Мора. А так как арки рассчитываются на действие постоянной, трех вариантов снеговой и двух вариантов ветровой нагрузок, это существенно усложняет задачу.

2. Метод конечных элементов. Согласно данному методу арку необходимо разбить на конечное число элементов. В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Согласно СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия» нагрузки на арку даются в их горизонтальной проекции, а так как арка это криволинейный элемент с переменной жесткостью, то на каждый отдельный участок нужно делать свою проекцию (см. Рис.1) и учитывать жесткость этого участка. Эти операции делают задачу более сложной и трудоемкой.

Рис.1. Проекция нагрузки на участок арки

Из анализа существующих методов расчета можно сделать вывод, что расчет статически неопределимых арок является достаточно сложным и трудоемким. Нами предложен расчет статически неопределимых арок с помощью линий влияния. Рассмотрим данный метод на примере. Возьмем 1 раз статически неопределимую арку параболического очертания (см. Рис.2а).

а

б

Рис.2. Статически неопределимая арка а – расчетная схема , б – основная система

Уравнение, по которому описана ось арки: , где f – стрела подъема; L – длина пролета. Момент инерции арки распределяется по закону , где α – угол наклона касательной к оси арки в соответствующем сечении.

Для построения линии влияния воспользуемся методом сил.

Выберем основную систему вида (см. рис.2б)

Построим эпюры от действия единичной силы =1 и от действия груза Р=1 (см. Рис.3)

а

б

Рис.3. Эпюры от действия а – единичной силы =1, б – от действия груза Р=1

Составим каноническое уравнение метода сил:

- перемещение точки приложения Х₁ по направлению Х₁ от действия Х₁.

перейдем от интеграла по дуге к определенному интегралу так как

- перемещение точки приложения X₁ по направлению X₁ от действия внешней нагрузки.

перейдем к определенному интегралу.

с учетом преобразований получим

Так как Р=1, далее а->х, получим: - линия влияния распора для параболической арки.

Исходя из определения линии влияния, можно определить распор при любом виде вертикального нагружения.

1. Сосредоточенная сила. При данном виде загружения необходимо взять ординату с линии влияния в точке, где приложена сила и умножить на величину силы, если приложено n сил, то по принципу суперпозиции будем иметь: , где h_i - ордината линии влияния под сосредоточенной силой, P_i – величина соответствующей силы.

2. Распределенная нагрузка. При данном виде загружения необходимо распределенную нагрузку разбить на отдельные участки, привести их к сосредоточенным силам и выполнить действия, описанные в пункте 1.

Выведенный метод позволяет вести расчет арок без каких-либо сложностей. Уравнение линии влияния распора можно получить как для горизонтального загружения, так и для любого другого очертания арки.

Библиографический список

1. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика: М.: Высшая школа., 1986. – 607с.