Магистр Кутелов А.Е.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Заурбеков Н.С.

к.т.н., Турганбай К.Е.

Алматинский технологический университет, Казахстан

ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИЛЛЕРА – СПЕНСА – ЗЕКХАУЗЕРА

Модель загрязнения, в которой запас загрязнителя входит в функцию полезности с отрицательной маргинальной производительностью, а поток имеет положительную маргинальную производительность. Инсектицид ДДТ – хороший конкретный пример двойственной роли загрязнителей такого типа.

Для простоты предположим, что коль скоро загрязнитель появился, то он может убывать лишь естественным путем. Чтобы избежать не относящихся к делу осложнений, предположим, что труд является единственным дефицитным производственным фактором. Итак, задача управления в этой модели состоит в выборе производственного процесса – этот выбор проявляется в распределении труда между сектором, производящим предметы потребления, и сектором, производящим загрязнители [1].

Целевая функция та же, что и прежде. Для простоты мы будем предполагать, что потребление и загрязнение входят в функцию полезности раздельно, т. е.

, (1)

и что .

Предложение трудовых ресурсов – единственного фактора производства – фиксировано. Часть их используется в производстве загрязнителей (с производственной функцией . Мы предположим, что , и .

Оставшаяся часть трудовых ресурсов используется в производстве товаров потребления. Загрязнитель, являясь промежуточным продуктом, служит вторым аргументом производственной функции в секторе производства товаров потребления. Эта функция, следовательно, имеет вид

(2)

где – первичный поток произведенных загрязнителей. Для любого производства товаров необходимо положительное количество используемых трудовых ресурсов, но положительность второго аргумента не обязательна. Ясно, что эта функция зависит лишь от :, a – некоторый параметр, зависимость от которого для нас сейчас несущественна. Вид функции показан на рисунке 1.

Правее точки – максимального выпуска – увеличение труда, занятого в секторе, производящем загрязнитель, уменьшает выпуск товаров потребления, так как потери от уменьшения труда, непосредственно занятого в секторе потребления, превышают доходы от увеличения производства загрязнителя.

Необходимые условия оптимальности. Преобразуем выражение для гамильтониана, отбросив :

. (3)

Здесь и – зависящие от времени неотрицательные множители, соответствующие ограничениям на . Ясно, что использовать больше, чем , трудовых ресурсов на производство загрязнителя неэффективно, поскольку загрязнение имеет неположительною продуктивность. Следовательно, и . Интересным аспектом задачи является то, что множитель может быть положительным.

Рисунок 1 – Зависимость производственной функции от трудовых ресурсов, занятых в секторе, производящем загрязнитель

Оптимальное значение для в каждый момент времени при условных оценках выводится из условий

при и . (4)

Рассмотрим сначала случай, когда и, значит, . Если , то . Продифференцировав (3), получим

. (5)

Это выражение будет положительным, если «мало» по сравнению с и . В дальнейшем мы будем полагать, что

(6)

Так как при , то конечно. Итак, для существует нижняя грань , задаваемая формулой

, (7)

Для уравнение (4) определяет , которое оказывается положительным. В этой области есть нуль [3].

Динамические условия. Условием совершенного предвидения является условие

. (8)

Снова применим для решения метод фазовых диаграмм (рисунок 3). Кривая проходит через начало координат и имеет отрицательный наклон . Кривая определяется формулой . Поскольку и , наклон кривой положителен [4]. Итак, две кривые имеют единственную точку пересечения, и, следовательно, существует оптимальная траектория, проходящая через эту точку. Как и прежде, оптимальный начальный уровень оценки есть значение на оптимальной траектории, соответствующей начальному уровню загрязнителя .

Теперь можно изучить интересный аспект этой задачи. Пусть – абсцисса точки пересечения оптимальной траектории с кривой . Если то оптимальная политика состоит в том, чтобы положить и сохранять это значение до тех пор, пока в результате естественного процесса уровень загрязнения не снизится до . После этого при стремлении к оптимальной стационарной точке надо постепенно увеличивать но при этом придерживаться условия . В стационарной точке (которая никогда не достигается) .

Из этой модели видно, что неоптимально как игнорировать проблему загрязнения, так и вовсе запретить производство загрязнителей. Неоптимальным может оказаться даже запрещение их

Рисунок 3 – Фазовая диаграмма для модели 2,использования в настоящее время, поскольку это зависит от текущего уровня запаса загрязнителя.

Здесь существуют по меньшей мере два вопроса. Один состоит в определении критического уровня , ниже которого производство загрязнителя должно быть разрешено, а второй вопрос – как практически добиться того, чтобы загрязнитель не превышал определенного уровня. Вообще говоря, простые политики типа полного разрешения или полного запрещения наиболее удобны для администратора. Но если возможны другие способы управления, то экономические потери при выборе одной из простых политик могут оказаться очень большими [2].

Область применения рассмотренных моделей шире, чем область чисто производственных процессов. Например, «производители» напитков получают с потребителей более высокую плату, если используют производственные процессы, при которых бутылки не возвращаются (цена повышается за удобство), но процессы, при которых бутылки можно вернуть, дают меньшее загрязнение. Выигрыш, получаемый от того, что бутылки не выбрасываются, невысок, но зато ликвидация выброшенных бутылок обходится дорого, а иногда и слишком дорого. Таким образом, применение к этим случаям модели 2 оправдано. Запрещение выбрасывать бутылки может стать приемлемым и по эстетическим соображениям. Другим примером являются транспортные «пробки»; их можно рассматривать как побочный продукт транспортировок [5].

Дальнейшие исследования должны ослабить три предположения в наших моделях.

1. В секторе борьбы с загрязнением должен использоваться капитал.

2. Следует учитывать технический прогресс, особенно в секторе борьбы с загрязнением, где прогресс может и должен наступить в ближайшем будущем.

3. Трудовые ресурсы надо рассматривать как эндогенную величину, чтобы установить взаимоотношение между ростом народонаселения и загрязнением и проиллюстрировать возможную необходимость каких-либо способов регулирования народонаселения.

Для компьютерного моделирования процессов в экологической модели Килера – Спенса – Зекхаузера была написана программа на MATLAB. Текст программы приводится в приложении А. Результаты расчетов представлены на рисунке 4 (для случая , равновесие золотого века) и рисунке 5 (для случая , равновесие темного века) [3].

Рисунок 4 – Случай (равновесие золотого века).

Рисунок 5 – Случай (равновесие темного века).

Литература:

1 Килер Э., Спенс М., Зекхаузер Р. Оптимальный контроль над загрязнением окружающей среды / Перевод с английского М. И. Зеликина. – М. : Наука, 2006. – 297 с.

2 Лихнерович М. Модель экономического обмена (экономика и термодинамика) / Перевод с французского А. Б. Катка. – М. : Наука, 2006. – 271 с.

3 Петров А.А. Математические модели прогнозирования народного хозяйства. – М. : Знание, 2004. – 285 с.

4 Моделирование народнохозяйственных процессов. Под ред. Дадаяна В.С. – М.: Экономика, 2003. . – М. : Наука, 1997. – 300 с.

5 Михалевский Б.Н Система моделей среднесрочного народнохозяйственного планирования. – М. : Наука, 2007. – 289 с.