УДК 517.946

М.П.Ленюк, М,І.Шинкарик

Моделювання процесів дифузії в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра-Фур’є- Фур’є на полярній вісі r ³ R₀ > 0

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області = { (t, r): t Î (0, ¥), r Î (R₀, R₁) (R₁, R₂) (R₂, ¥) = ; R₀ > 0} розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]

= f₁(t, r), r Î (R₀, R₁),

= f₂(t, r), r Î (R₁, R₂), (1)

= f₃(t, r), r Î (R₂, ¥)

за початковими умовами

u_j(t, r)|_{t = 0} = g_j(r), r Î (R_{j – 1}, R_j), j = , R₀ > 0, R₃ = ¥, (2)

крайовими умовами

= w₀(t), (3)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2. (4)

У рівностях (1) – (4) беруть участь диференціальні оператори , k = 0, 1, 2; j, m = 1, 2, диференціальний оператор Лежандра L_m = d²/dr² + cth r d/dr + 1/4 – m²/sh²r , m ³ 0 та диференціальний оператор Фур’є d²/dr².

Будемо вважати, що виконані умови на коефіцієнти: c_{j1, k} = , c_{11, k} c_{21, k} > 0, c_{j2, k} = = 0, j, k = 1, 2, º , £ 0, ³ 0, || + ¹ 0.

Припустимо, що задані та шукані функції є оригіналами за Лапласом стосовно t [3].

У зображенні за Лапласом параболічній задачі (1) – (4) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра та Фур’є для модифікованих функцій

, r Î (R₀, R₁),

, r Î (R₁, R₂), (5)

, r Î (R₂, ¥)

за крайовими умовами

, (6)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2. (7)

У рівностях (5) – (7) прийняті позначення:

, , ,

, , , ,

,

.

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра (L_m – q)v = 0 утворюють приєднані функції Лежандра першого роду та другого роду [2], n₁ = –1/2 + q₁; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² – q²)v = 0 утворюють функції v₁ = exp(qr) та v₂ = exp(–qr) або їх лінійні комбінації chqr та shqr [4].

Знання фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати загальний розв’язок крайової задачі (5) – (7) методом функцій Коші [4, 5]:

,

, (8)

.

У рівностях (8) –функції Коші [4, 5]:

. (9)

Тут j₁(r) = sh r, j₂(r) = j₃(r) = 1.

Припустимо, що функція Коші

Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(C₂ – C₁)(chr) + (D₂ – D₁) (shr) = 0,

(C₂ – C₁) ¢(chr) + (D₂ – D₁)¢(shr)= –(shr)^–2.

Звідси знаходимо співвідношення:

C₂ – C₁ = –B_m(q₁) (chr), D₂ – D₁ = B_m(q₁)(chr). (10)

Доповнимо співвідношення (10) алгебраїчними рівняннями:

(11)

Внаслідок співвідношень (10) алгебраїчна система (11) набуває вигляду:

,

. (12)

З цієї системи знаходимо, що

,

.

Цим функція Коші (p, r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

(12)

Припустимо, що функція Коші

Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

C₂ – C₁ = shq₂r, D₂ – D₁ = –chq₂r. (13)

Доповнимо співвідношення (13) алгебраїчними рівняннями:

(14)

Алгебраїчна система (14) внаслідок співвідношень (13) набуває вигляду:

,

. (15)

Із алгебраїчної системи (15) знаходимо, що

, .

Цим функція Коші (p, r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

(16)

У рівностях (11) – (16) беруть участь функції:

,

,

,

,

, ,

,

.

Припустимо, що функція Коші

Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

C₁ = –shq₃(r – R₂) + D₂, D₁ = chq₃(r – R₂) – D₂. (17)

Доповнимо ці рівності алгебраїчним рівнянням:

. (18)

Із алгебраїчної системи (17), (18) знаходимо, що

º .

Цим функція Коші визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

(19)

Повернемось до формул (8). Крайова умова у точці r = R₀ й умови спряження (7) для визначення величин A_j(j = 1, 2) та B_k (k = ) дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

,

,

, (20)

,

.

В алгебраїчній системі (20) беруть участь функції:

+,

–.

Введемо до розгляду функції:

A_{m, j}(p) = D_1j(q₂R₁, q₂R₂) – D_2j(q₂R₁, q₂R₂).

B_j(p) = – , j = 1, 2,

– ,

– .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності параболічної задачі: для p = s + is з Rep = s > s₀, де s₀ – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (20) D_m(p) º A_{m, 1}(p) – A_{m, 2}(p) =

= B₁(p) – B₂(p) ¹ 0. (21)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (5) – (7):

1) породжені неоднорідністю системи (5) функції впливу

,

,

,

(22)

,

,

2) породжені крайовою умовою в точці r = R₀ функції Гріна

,

, (23) ;

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

,

,

, , (24)

, ,

, ,

, .

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (20) в силу умови (21), підстановки одержаних значень A_j (j = 1, 2) та B_k (k = ) у формули (8) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (5) – (7):

+++

+ + , j = . (25)

Повертаючись у формулах (25) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) – (4):

+ W_{m, 1j}(t, r) + +

+ + +

+ +

+ , j = , (26)

d₊(t) – дельта-функція, зосереджена в точці t = 0+ [5].

У рівностях (26) за означенням [3]

, j = ; (27)

, k, m = 1, 2, j = . (28)

, j, k = . (29)

Особливими точками функцій Гріна (p, r), (p, r) та функцій впливу (p, r, r) є точки галуження p = – (j = ) та p = ¥. Оскільки > 0, то всі особливі точки знаходяться на лівій піввісі Rep = s Î (–¥, 0). Це дає можливість „сісти на уявну вісь” і одержати наступні розрахункові формули для головних розв’язків параболічної задачі (1) – (4):

, j = , (30)

, k, m = 1, 2, j = , (31)

, j = . (32)

Тут Re(...) означає дійсну частину виразу (...).

Зауваження 1. Можна вважати, що = 0, y_km = 0. В протилежному випадку переходимо до нових початкових умов

= g₁(r) – (a₁r + b₁), = g₂(r) – (a₂r + b₂), = g₃(r) – b₃

й вибираємо a_k (k = 1, 2) та b_j (j = ) із алгебраїчної системи

a₁()+b₁= ,

a_j()+b_j– [a_j+1 () + b_j+1] = y_jk, j, k = 1, 2. (33)

При виконанні умов на коефіцієнти алгебраїчна система (22) завжди сумісна.

Зауваження 2. Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні даної дифузійної задачі, можна із загальних структур виділити безпосередньо в рамках даної моделі будь-який частковий (практично важливий) випадок.

Зауваження 3. Якщо покласти = 0, = 0, то одержимо розв’язок даної задачі дифузії для випадку жорстких по відношенню до відбиття хвиль меж середовища.

Література

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

2. Ленюк М.П., Шинкарик Н.И. Гибридные интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. – 60 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики).

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.