Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Компьютерное  моделирование магнетиков с деформируемой решеткой

Для численного решения нелинейных уравнений математической физики  широко используется конечно-разностные методы. Суть данного метода заключается в том, что область непрерывного изменения аргумента х заменяется конечно-разностной сеткой, а дифференциальные операторы, определяющие уравнения - разностными соотношениями. При этом решение дифференциальной задачи сводится к решению системы разностных равнений.

Для изучения динамики нелинейных волн и солитонов в магнитоупорядоченных кристаллах часто используют макроскопическое описание магнетиков на основе уравнения Лаңдау-Лифщица (ЛЛ) [1]:

где  - означает векторное произведение в 

При температурах отличных от нуля, атомы ферромагнетика не являются неподвижными, а совершают малые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. Из за этого меняется энергия обменного взаимодействия и возникают взаимодействия между спиновыми волнами и колебаниями решетки(фононами). Поэтому ак­туален вопрос о математическом исследовании моделей соответствую­щих ферромагнетикам с деформируемой решеткой.

В этой работе проведена численная реализация задачи Коши для системы нелинейных эволюционных уравнений, предложенной в работах [2], описываю­щая магнон-фононные взаимодействия в 1Д магнетиках:

                                                  

где  ,   - матрицы Паули,   - неизвестные функции, индексы  означают соответствующие частные производные по этим переменным,  - посстоянные действительные числа (параметры уравнений), [, ]- коммутатор, {,} - антикоммутатор.

Неизвестная матрица-функция    должна удовлетворят условию

где  - единичная 2x2 матрица, или в "компонентах"

Вектор  описывает классический спин атомов магнетика, скалярная функция   характеризирует деформацию решетки – смещение атома.

Для численного решения системы уравнений удобно перейти от спинового вектора    к функциям  с помо­щью формул:

которые согласуются с условием   

Тогда, система перепишется в виде 

                                                       (1a)

                                                    (1б)

                                                                                 (1в)

В дальнейшем нас будут интересовать эволюция движения волн на оси х, имеющие локальные изменения в начальный момент времени, т.е. для уравнений (1) рассмотрена задача Коши с начальными условиями

                                            (2)

  - известные функции.

Система уравнений (1) является квазилинейной. Указать точные решения соответствующей задачи Коши вида (2) представляется невозможным. Следовательно,  для детального изучения решений задачи (1)-(2) необходимо использовать приближенные методы.

С помощью Фурье - анализа проводится выбор алгоритма расчета, который является надежным по устойчивости и эффективным по соображениям численной реализации решений. Исследование устойчивости проведено в случае модельных уравнений. На основе разработанной методики проведены численные расчеты и анализ результатов.

Выяснения вопросов устойчивости решения используемых в дальнейшем разностных схем для нелинейных уравнений (1) в общем случае является затруднительным. Поэтому для получения практических рекомендации выбора шагов сетки  ограничимся исследованием устойчивости разностных схем для следующих уравнений, соответствующие линейной части системы (1а), (1б)

                                                                      (3)

Для системы (3) рассмотрим разностные схемы вида  

                                                               

                                                                         (4)

где     -  разностный оператор второй производной,

                          - некоторый вещественный параметр.

Легко показать, что разностная схема (4) аппроксимирует систему уравнений (3) с порядком   имеет первый порядок аппроксимации по   - второй.

Исследование устойчивости разностной схемы (4) проведем методом Фурье согласно критерию фон-Неймана [3]. В этом случае для множителей перехода гармоник получим следующее дисперсионное соотношение

=0

где - соответствующий номер гармоники. Отсюда имеем, что

Cледовательно,  множители перехода гармоник от одного временного cлоя к другому временному слою удовлетворяют соотношению

Отсюда видим, что, если  т.е.согласно критерия фон-Неймана разностная схема устойчива в норме пространства  по начальным данным. Заметим, что явная разностная схема, соответствующая при   является абсолютно неустойчивой.

Руководствуясь вышеуказанными соображениями, будем рассматривать схему вида (4)   Тогда соответствующие разностные выражения для уравнений (1а), (1б) будут иметь вид 

                                                                                          (5)

где функции  соответствуют правым частям выражений (1а), (1б) соответственно, вычисленные в узлах сетки в момент времени

Для аппроксимации уравнения смещения (1в) использовано соотношение

                                                                                 (6)

где  - некоторый вещественный параметр.

Разностная схема (6) при  соответствует схеме Лакса-Вендроффа, аппроксимирующая уравнение смещения с порядком

Основные расчеты были проведены по разностной схеме (5), (6) при сравнительно малых значении  Сходимость численного решения проверялась по последователь­ности сеток с числом узлов  при различных  Сходимость в норме пространства  удовлетворительная. В худщем случае, когда  относительная погрешность составляла

Литература

1.Косевич A.M.,Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. -Киев:Наукова думка, 1983. -192с.

2.Мырзакулов Р. Новые солитонные модели 1D магнетиков с деформируемой решеткой /Изв.АНКаз ССР, сер. физ.-мат., 1989, №6, с. 7-10.

3.Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.-Новосибирск:Наука, 1981. -304с.