УДК 539.3:534.1

ПОЛЕНОВ В.С.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В НАСЫЩЕННОЙ

ЖИДКОСТЬЮ НАСЛЕДСТВЕННО УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

(Воронежский институт экономики и права, Воронеж)

Динамическому деформированию насыщенных жидкостью пористых сред посвящены работы [1-4], в которых отражена теория распространения упругих стационарных и нестационарных волн.

Наличие и степень пористости в твердой фазе учитывается с помощью коэффициента пористости равного отношению объема пор к общему объему, занимаемому твердой фазой и сжимаемой жидкостью.

Введение Ю.Н. Работновым [5] дробно-экспоненциальных функций в качестве ядер интегральных операторов, оказывается весьма эффективными при применении принципа Вольтерра к решению динамических задач [6] наследственной теории упругости. Это объясняется тем, что дробно-экспоненциальные ядра допускают расшифровку соответствующих упругих операторов по вполне определенным правилам. Исследование диссипативных процессов при гармоническом деформировании таких сред позволяет установить эквивалентность между дробно-экспоненциальными ядрами и функциями распределения констант релаксации (ретардации).

В данном докладе предлагается дальнейшее исследование диссипативных процессов на примере звуковых волн распространяющихся в насыщенной жидкостью упругой пористой среде, упругие операторы которой определяются дробно-экспоненциальными функциями памяти.

1.Постановка задачи. Система уравнений теории наследственной упругости позволяет записать уравнения движения двухкомпонентной среды относительно вектора перемещения твердой фазы (скелета пористой среды) и вектора перемещения жидкости в следующем виде [1,2]

(1.1)

Здесь упругие операторы, операторы, зависящие от пористости среды и модуля сжимаемости жидкости; интенсивность перехода массы из второй фазы в первую; и истинные плотности твердой фазы и жидкости в порах; масса твердой фазы в единице объема среды; масса жидкости в единице объема среды; и величины, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой

Индексы, стоящие вверху в круглых скобках, относятся соответственно: 1 - к твердой фазе, 2 - к жидкости. Точка над буквой означает производную по времени, а индекс внизу, стоящий после запятой, указывает пространственное дифференцирование по соответствующей координате.

Упругие операторы в (1.1) определены следующим образом

= ,

(1.2)

а операторы равны коэффициентам и .

Систему (1.1) преобразуем к виду

+ =

(1.3)

Здесь

Решение системы (1.3) будем искать в виде затухающих волн

(1.4)

где амплитуды колебания волн в фазах, координаты единичного вектора в направлении распространения волн со скоростью частотой и коэффициентом затухания

Подставим (1.4) в систему (1.3), получим

	(1.5)
M( )=		(1.6)

Соотношения (1.5) позволяют определить характеристики поперечных и продольных звуковых волн в двухкомпонентных средах в процессе их распространения.

2. Поперечная звуковая волна. Характеристики поперечной звуковой волны: скорость волны , и коэффициент поглощения можно определить из (1.5) если положить . В результате получим

(2.1)

Отсюда, после разделения действительной и мнимой частей, получим

,

(2.2)

Тангенс угла механических потерь для одномерного случая

(2.3)

Зная тангенс угла механических потерь, можно вычислить декремент затухания и динамический модуль

,

(2.4)

3. Продольные звуковые волны. Характеристики продольных звуковых волн находятся из соотношений (1.5), если в них оба уравнения умножить на и положить получим

+{ +

(3.1)

Для дальнейшего исследования характеристик продольных волн выразим упругие операторы и через операторы объемного сжатия и сдвига следующим образом [7]

(3.2)

Тогда (3.1) запишем в виде

(3.3)

Система (3.3) имеет нетривиальное решение при условии, когда определитель системы равен нулю. Раскрывая определитель, получим

+ )

(3.4)

Разделим (3.4) на и введем следующее обозначение

(3.5)

где комплексное число.

Тогда (3.4) с учетом (3.2) запишем в виде

= -2 , ,

(3.6)

Из уравнения (3.6) находим

= , , , ,

(3.7)

Из (3.5) и (3.7) после несложных преобразований и разделения действительной и мнимой частей, получим формулы для нахождения скорости

распространения продольных звуковых волн, коэффициента поглощения и декремента затухания

(3.8)

Тангенс угла механических потерь найдем по следующей формуле

(3.9)

Так как и имеют знаки , то следует, что в наследственно упругой двухкомпонентной среде существует две продольные звуковые волны первого и второго типов.

4. Пример. В качестве примера рассмотрим поперечную волну, когда ядро оператора есть дробно-экспоненциальная функция Работнова [8]

,

(4.1)

где и соответственно нерелаксированное и релаксированное значения модуля сдвига время релаксации сдвиговых напряжений, параметр дробности, учитывающий структурные изменения, связанные с различными видами обработки и эксплуатации материалов, гамма функция.

Подставим (4.1), записанное в пространстве Фурье [9] в (2.3) и (2.4), получим формулы для определения тангенса угла механических потерь и динамического модуля

	(4.2)
+		(4.3)

Зная , по формулам (2.2) определим скорость коэффициент поглощения и логарифмический декремент затухания поперечной звуковой волны в наследственно упругой двухкомпонентной среде

	(4.4)
tg , =2	(4.5)

Получим характеристики продольных звуковых волн для случая, когда ядро объемной релаксации также выражается дробно - экспоненциальной функцией Ю.Н. Работнова (4.1).

Тогда коэффициенты , входящие в (3.6) и (3.7) запишем в виде

	(4.6)
,	(4.7)

,

(4.8)

+2cos

(4.9)

где индексы и k означают соответствующие величины, характеризующие сдвиговые и объемные релаксации.

Для стандартного линейного тела формулы (4.3), (4.8) упрощаются и принимают вид

(4.10)

По формулам (3.8) и (3.9) с учетом (4.6) - (4.9) при различных значениях параметра находим скорости, коэффициенты поглощения, тангенс угла механических потерь и декремент затухания продольных звуковых волн в наследственно упругой двухкомпонентной среде.

На Рис. 1-2 представлены зависимости скорости и коэффициента затухания фаз от логарифма температуры при следующих данных: Значения параметра указаны на рисунках.

Рис.1. Зависимость скорости от температуры Рис.2. Зависимость коэффициента затухания от температуры

Литература

1. Biot M.A. Theory propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-Frequency Range /M.A. Biot //J. Acoust. Soc. America.- 1956. -v. 28.- № 2. -P. 168-178.

2. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.II. Higher Frequency Range // J. Acoust. Soc. America. 1956. V. 28. №2. P. 179-191.

3.Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах/Л.Я. Косачевский//ПММ.-1959.-Т. 23 -Вып. 6.-С. 1115 - 1123.

4.Масликова Т.И. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах/Т.И. Масликова, В.С. Поленов//Изв. РАН. МТТ. -2005. -№ 1.-С. 104 - 108.

5. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием/Ю.Н. Работнов// ПММ. -1948.-Т. 12.-Вып. 1.-С.53-62.

6. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред/Т.Д. Шермергор // М. Наука.-1977. -399 с.

7. Мешков С.И. О распространении звуковых волн в наследственно упругой среде /С.И. Мешков, Ю.А. Россихин//ПМТФ.-1968.-№5. –С.89-93.

8. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах /В.С. Постников// М. Метал-лургия, -1974.- 351 с.

9. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций/Ю.Н. Работнов//М. Наука.- 1966.- 752 с.