Математика

1. Диференціальні та інтегральні рівняння

Комарницька Л.І., Мирошниченко М.В.

Дрогобицький державний педагогічний університет імені І.Франка

Нелокальна крайова задача для двовимірного аналогу рівняння Соболєва

В області , для рівняння

, (1)

де , , , , розглядається задача з умовами , (2)

де , , , , , . На просторові змінні , накладаються умови -періодичності.

Нехай (1¢) – відповідне однорідне рівняння, (2¢) – відповідні однорідні умови.

Розв'язок задачі (1), (2) шукається у просторі функцій у вигляді ряду ,

де , - розв'язок задачі (1¢), (2), - розв'язок задачі (1), (2¢); , , , , ; - простір функцій з нормою

.

Позначимо через , , корені характеристичного рівняння для рівняння (1¢). Припускається, що вони попарно різні і відмінні від нуля.

Теорема 1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і достатньо, щоб виконувались умови:

,

, , ,

де ; .

При виконанні умов єдиності розв'язок задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду

, де

,

, - визначник, отриманий з шляхом викреслювання -го рядка і -го стовпця, - сума всеможливих добутків коренів взятих у кількості штук, .

Теорема 2. Нехай існують додатні сталі і , , такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів і довільного , , виконуються нерівності:

, (3)

, (4)

, . (5)

Якщо , де і , де , , то розв'язок задачі (1), (2) в просторі існує і неперервно залежить від функцій та , .

Доводяться теореми метричного характеру про виконання оцінок (3)-(5).

Теорема 3. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів і всіх векторів (або для майже всіх векторів і для всіх векторів ), де і вектори, складені відповідно з коефіцієнтів і полінома

,

нерівність (3) виконується при для всіх (крім скінченного числа) векторів .

Теорема 4. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів або майже всіх векторів , де , , нерівності (4) виконуються при для всіх векторів таких, що , .

Теорема 5. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів і для довільного фіксованого вектора , де - вектор, складений з коефіцієнтів рівняння (1), крім коефіцієнтів і , нерівності (5) виконуються при для всіх таких, що .

Комарницька Леся Іванівна, тел.: 8(244)39462.

Мирошниченко Мар'яна Володимирівна, тел.: 8(244)23842.