УДК 681.5.015

 

А.Л. Рутковский

д.т.н, профессор, кафедра «Теории и автоматизации металлургических процессов и печей», ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)», Россия

Х.Б  Хосаев

д.т.н, профессор, начальник управления научных исследований, ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)», Россия

Б.Д. Билаонов

соискатель, ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)», Россия

М.А. Ковалева

к.т.н, ассистент, кафедра «Теории и автоматизации металлургических процессов и печей», ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)», Россия

 

Оценивание параметров регрессионных моделей промышленных объектов при наличии ошибок измерения входа и выхода

 

Постановка задачи:

В промышленных условиях входные и выходные переменные объектов управления измеряются с существенными ошибками, которые зависят не только от метрологических характеристик средств контроля, но определяются также стохастической природой измеряемых показателей, проявляющейся в пространственной неоднородности среды, шумах и т.д. В тоже время свойства оценок наименьших квадратов (НК), широко используемых в линейном и нелинейном регрессионных анализах [1, 2], исследуются в предположении точного измерения входных переменных. Формальное применение метода НК при несправедливости этого допущения (а в большинстве случаев оно несправедливо) приводит к неудачам и является причиной появившегося в последние годы среди инженеров-исследователей недоверия к возможностям метода. Нами разработан подход, приводящий к весьма простым соотношениям, которые позволяют решить основные практические вопросы.

Рассмотрим схему наблюдения за входными и выходными переменными объекта управления, представленную на рисунке.

Рисунок  Схема изучаемого объекта

 

Ей соответствует вероятностная схема эксперимента с произвольным планом

                                                                                             (1)

                                                                                              (2)

где - вектор-столбец значений выходной переменной-отклика объекта; n - число опытов; - наблюдаемая матрица независимых входных переменных (факторов); k – число факторов; b = [bj],  j=1,…,k – вектор-столбец точных значений коэффициентов, подлежащих оцениванию; e = [ei], i=1,…,n – вектор-столбец значений случайной переменной, учитывающей ошибки измерений и стохастическую природу отклика;  h = [hij], i = 1,…,n, j = 1,…,k – наблюдаемая зашумленная матрица эксперимента; D = [Dij], i = 1,…,n, j = 1,…,k – матрица ошибок измерения входных переменных. Значение D может, также как и e , отражать стохастическую природу Х.

Пусть компоненты случайной матрицы D независимы в совокупности. MD = 0 и MDDТ = n diag ( , где «Т» - знак транспонирования, - диагональная матрица. Принимаем также, что  известна, элементы столбца матрицы D имеют одинаковое произвольное распределение (причем распределение различных столбцов D может не совпадать), которое сосредоточено на конечном интервале.

Введем обозначения:

                                    ,                                                         (3)

где - нормирующая константа,

                                                                                          (4)

В дальнейшем и для других переменных черта обозначает выборочное среднее и следующую нормировку переменных:

     .                                                        (5)

С учетом (2) перепишем (5):

                               ;                                                          (6)

; (7)

. (8)

Обозначим также:

                           ,                                                      (9)

через  - оценку, полученную тем или иным способом по наблюдаемой матрице эксперимента, а через b – МНК – оценку, которая была бы получена по матрице Х, если бы она была известна:

                          ,                                                       (10)

где              ;                                                       (11)

                .                                                         (12)

Введем относительную ошибку                                (13)

и определим ее верхнюю границу при рассматриваемом ниже способе получения .В (13)  - знак евклидовой нормы.

Хорошо известно [3], что оценка, полученная по соотношению

,                                                                                  (14)

является несостоятельной. Известен также способ обеспечения состоятельности и несмещенности [3], заключающийся в коррекции диагональных элементов матрицы . Используем этот способ и введем оценку

,                                                     (15)

где  .                                       (16)

Обозначим

           ,                                                       (17)

- минимальное собственное значение матрицы Z,

                                 ,                                                       (18)

максимальное собственное значение матрицы ,

,                                                     (19)

(отметим, что G – несимметричная матрица). Так как  и , то .

При принятых обозначениях для оценки (15) справедливо

Утверждение 1. ,            (20)

где  - для матрицы спектральная норма; - нормированный остаток, определяемый из соотношения

.                                                                                           (21)

Утверждение 2. Дисперсии диагонального и недиагонального элементов матрицы G соответственно равны:

,                            (22)

 ,                               (23)

где - эксцесс распределения .

Отметим, что при постоянстве  из (23), (24) и равенства

следует сходимость в среднеквадратическом .

Утверждение 3. Элементы матрицы  при постоянстве  асимптотически нормальны (0, ) и независимы, причем  определяется по (22) при i = j и по (23) при .

Представленные утверждения доказаны в [4].

Полученные соотношения дают возможность решить ряд практических задач: оценить качество проведения эксперимента в смысле возможности применения регрессионного анализа; спланировать регрессионный эксперимент; корректировать последовательный регрессионный эксперимент.

Рассмотрим пример оценки качества уже проведенного эксперимента. Предварительно отметим, что нормировка переменных введена нами так, что наблюдаемые матрицы близки к корреляционным, а вектор - к вектору парных корреляций. Поэтому различные эксперименты легко сопоставимы.

Пусть число факторов k=6; отношение СКО шума к СКО полезного сигнала  минимальное собственное значение матрицы Z  число опытов n=120; доверительная вероятность r = 0,95; ; максимальное собственное значение матрицы     отношение СКО ошибки измерения отклика к СКО отклика  

Приведенные данные характерны для пассивно-активного эксперимента [5]. При этом получим:  и в соответствии с (34) относительная ошибка в определении коэффициентов Следовательно, данные такого эксперимента даже при использовании оценки (15) обладают невысоким качеством.

Выводы

Предположим, что подобные данные получены в процессе последовательного эксперимента и мы хотим ввести коррекцию в эксперимент с целью ограничения d заданным значением. Рассмотрим основные возможности улучшения качества эксперимента:

1                   Увеличение минимального собственного значения матрицы . Этот путь эффективен вдвойне, так как не только приближает оценки (для того, чтобы в рассматриваемом примере обеспечить , должно быть , причем с ростом , как правило, уменьшается ), но и улучшает качество оценок b. Однако, в промышленных условиях увеличение часто затруднено, поскольку оно может осуществляться лишь уменьшением корреляционной связи между входными переменными. Эти корреляции обусловлены или зависимостями физико-химического характера (и тогда их трудно уменьшить), или обратными связями, охватывающими объект в системе управления. В последнем случае устранение корреляций путем разрыва обратных связей нарушает режим управления, приводит к ухудшению технико-экономических показателей технологического процесса и в целом, как правило, отрицательно воспринимается технологическим персоналом.

2                   Увеличение числа опытов n. Это дорогостоящий путь, поскольку относительная ошибка d с ростом n падает со скоростью . Отметим, что увеличение числа опытов одновременно улучшает свойства МНК-оценок b.

3                   Уменьшение отношения уровня шума к уровню полезного сигнала . Возможны два варианта уменьшения l: уменьшение  или увеличение . На основании изложенного можно сделать вывод, что рассмотренные приемы характерны и в случае планирования эксперимента и могут быть использованы одновременно при работе системы управления промышленным объектом для последовательного улучшения оценок параметров моделей объекта.

 

Список литературы:

1.          Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. -М.: Мир, 1980. -456 с.

2.          Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. –М.: Статистика, 1979. -349 с.

3.          Бородюк В.П., Вощилин А.П. Ошибки регистрации независимых переменных в задачах множественной регрессии. \\ Заводская лаборатория, № 7, 1973. с. 831 – 835.

4.          Рутковский А.Л., Бигулов А.В., Билаонов Б.Д. Идентификация параметров промышленных объектов при воздействии помех на входные переменные. \\Естественные и технические науки. Москва.–2012. – №3. – С.  262-272

5.          Рутковский А.Л. Оценивание параметров моделей объектов управления по данным активно - пассивных экспериментов. \\ Изв. ВУЗ-ов, Цветная металлургия, № 4, 1988. с. 43 – 49.