Экономические науки/8.
Математические методы в экономике
К.ф.-м.н.
Попова Н.В.
ГОУ ВПО «Российский экономический
университет имени Г.В. Плеханова»
Математические
методы в инвестиционном анализе
Ни одно человеческое исследование не может
называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.
Леонардо да Винчи
Быстроразвивающиеся финансовый рынок, банковская
система, появление новых финансовых инструментов требуют специального их
изучения и овладения аналитическими методами оценки и анализа инвестиций. В
связи с особой ролью безрисковых бумаг на фондовом рынке изучение инвестиций в
безрисковые ценные бумаги с помощью математических методов представляет большой
практический интерес. Интерес этот обусловлен самой методологией исследования,
предполагающей использование математических методов. Известно, что примеры и
эксперименты для математики не имеют доказательной силы. Лишь после того, как
получено математическое доказательство, утверждение приобретает «абсолютный и
вечный» характер, (при тех условиях, при которых доказано утверждение) как
всякая математическая истина.
Инвестирование в ценные бумаги без кредитного риска является предметом
изучения специального раздела финансового анализа – анализа финансовых
инвестиций в условиях определенности. Основой данной теории является
предположение о том, что поступление будущих доходов точно в срок и в полном
объеме считается гарантированным. В качестве примера использования
математических методов в инвестиционном анализе рассмотрим некоторые теоремы
рынка облигаций, изложенные в работе [1]. Доказательства теорем можно
посмотреть в работах [2,3], где эти теоремы сформулированы как математические и
доказаны математическими методами. Доказательство теорем базируется на таких
теоремах математического анализа, как теорема Лагранжа, теорема о монотонности
дифференцируемой функции, теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции, теоремы выпуклого анализа. Подчеркнем, что рассматриваемые рыночные теоремы
изначально не являлись математическими. Они возникли в результате наблюдений на
рынке. Например, из наблюдений было установлено основное свойство цены
облигации: её цена изменяется в направлении, противоположном направлению
изменения ее доходности. Теорема, как математическая, выглядит следующим
образом.
Теорема 1 (Фундаментальное свойство цены
облигации). Функция P(r) является убывающей и выпуклой. Здесь P(r)
– цена облигации, рассматриваемая как функция ее внутренней доходности r.
Как оказалось, выпуклость функции P(r)
объясняет свойства цены облигации, сформулированные в следующих рыночных
теоремах.
Теорема 2. Уменьшение
внутренней доходности облигации приводит к росту ее цены на величину большую,
чем соответствующее падение цены при увеличении доходности на ту же величину.
Теорема 3.
Чем выше уровень процентных ставок рынка, тем меньше изменение цены
облигации при изменении ее внутренней доходности на заданную величину.
Из доказательства
теорем следует, что данное свойство изменения цены облигации объясняется
выпуклостью функции P(r). Таким образом, математическое
доказательство не только подтвердило справедливость утверждения теорем, но и
позволило установить причину свойств цены облигации – выпуклость зависимости
цена-доходность.
Заметим, что
утверждения теорем 2 и 3 справедливы не только для абсолютного, но и для
относительного, т.е. процентного изменения цены облигации, что представляет для
инвестора гораздо больший интерес.
Теорема о
зависимости цены купонной облигации от срока до погашения выглядит следующим
образом. Подчеркнем, что в теореме речь идет о котируемой цене облигации, т.е.
цене сразу после купонной выплаты.
Теорема 4. Пусть
внутренняя доходность облигации r не изменяется до момента ее погашения.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) котируемая цена
облигации, продающейся с премией, уменьшается с уменьшением срока до погашения
и равна номиналу облигации в день погашения;
2) котируемая цена
облигации, продающейся с дисконтом, увеличивается с уменьшением срока до
погашения и равна номиналу облигации в день погашения;
3) котируемая цена облигации, продающейся по
номиналу, остается неизменной и равной номиналу облигации до момента ее
погашения.
В существующей литературе по финансовым инвестициям, например [1],
графики зависимости цена-срок до погашения – это непрерывные кривые. Математическое
доказательство теоремы 4 позволило уточнить характер и график этой зависимости.
А именно: график зависимости котируемой цены купонной облигации от срока до
погашения – это изолированные точки, принадлежащие графику возрастающей
вогнутой функции при f > r , графику убывающей выпуклой функции при f < r, графику постоянной функции при f = r, где f − купонная ставка облигации. Изолированные точки на этом графике соответствуют моментам
купонных выплат. Цена облигации между купонными выплатами изменяется по другому
закону – показательному. Рыночные теоремы о поведении размера премии или
дисконта, сформулированные в [1], можно рассматривать как следствие теоремы 4.
Рассмотрим еще одну важную теорему финансового анализа − теорему
о существовании решения уравнения доходности финансового потока.
Теорема 5. Пусть P
– стоимость положительного
потока (R1, R2,…,Rn; t = t1, t2,…, tn)
в момент t = 0. Если выполняется
условие 
, то уравнение доходности
имеет единственное
положительное решение.
Условие 
имеет двойное значение. Математическое – оно обеспечивает
существование и единственность решения уравнения доходности. С другой стороны,
условие 
означает, что
инвестиционный проект стоимостью P с потоком доходов (R1, R2,…,Rn; t = t1, t2,…, tn) не является заведомо убыточным.
Для решения
уравнения доходности применяются приближенные методы, сходимость которых
доказывается на базе таких понятий математического анализа, как точные грани
числовых множеств, предел и сходимость числовых последовательностей, предел и
непрерывность функций. Знание показателя доходности финансового потока
необходимо для принятия инвестиционного решения.
Приведенные
примеры показывают эффективность применения математических методов в инвестиционном
анализе, поскольку позволяют углублять знания об объекте инвестирования. Можно
утверждать, что использование математических методов в области финансовых и
производственных инвестиций [3-5] в конечном итоге способствует обоснованности инвестиционных решений.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Шарп У. Ф., Александер
Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. – М. :
Инфра-М, 1999.
2.
Барбаумов В. Е., Гладких
И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. – Ч. 1. Инвестиции с фиксированными
доходами: учебное пособие. – М. :
Изд-во Рос. экон. акад., 2000.
3.
Мельников А. В., Попова
Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. – М.: Анкил,
2006.
4.
Попова Н.В. Исследование
инвестиционных проектов с помощью математических методов. Вестник РЭУ им. Г.В.
Плеханова. № 5(35), 2010.
5.
Попова Н.В. О некоторых
свойствах дюрации Маколея. Вестник финансового университета. № 1(61), 2011.