О возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи типа Редже на непрерывных весовых функциях и весовых функциях близких к функциям из классов Гельдера

УДК 517.43

Айгунов Г.А., Жвамер Карван Х.

Пусть - фиксированные числа. Обозначим через совокупность всех суммируемых на функций , удовлетворяющих условию . В дальнейшем такие функции будем называть весовыми функциями.

Рассмотрим спектральную задачу ()

() (1)

, (2)

, где . (3)

Эта задача рассматривалась в работах [1]-[3], где доказано, что для гладких весовых функций собственные функции задачи (1)-(3) равномерно ограничены, если и растут как в случае . Для суммируемых весов в этих работах установлено, что собственные функции могут расти как на некоторой подпоследовательности собственных функций . Заметим, что для задачи типа Штурма-Лиувилля в случае гладких весов собственные функции равномерно ограничены.

Данная работа посвящена изучению поведения собственных функций задачи (1)-(3) для весовых функций из промежуточных классов.

Аналогичное изучение поведения собственных функций для задачи Штурма-Лиувилля рассмотрено в работах [4]-[5].

В классе непрерывных весовых функций справедлива следующая

Теорема 1. Для любой последовательности существует непрерывная весовая функция такая, что

Рассмотрим класс весовых функций , удовлетворяющих условиям Гельдера , где , . Обозначим этот класс через . Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть , и . Тогда существует весовая функция удовлетворяющая условиям:

1) ;

2) имеет счетное множество точек разрыва первого рода таких, что и для любого на конечное число точек из ;

3) на участках , ,…, ,… функция удовлетворяет условию Гельдера с теми же и , что и ;

4) скачки удовлетворяют неравенствам

;

5) Если - собственные числа и функции задачи (1)-(3) с весом , то

Таким образом, на весовых функциях из промежуточного класса между гладкими и суммируемыми весовыми функциями также возможен рост нормированных собственных функций задачи (1)-(3), как , где .

Доказательства теорем 1 и 2 опирается на теорему о непрерывной зависимости собственных значений от весовых функций [3], лемму из [2] и следующее следствие этой леммы.

Следствие. Пусть и произвольные фиксированные числа, а - множество весовых функций , удовлетворяющих соотношению . Тогда существует константа , зависящая только от и номер такие, что для непрерывная весовая функция такая, что, если , то , и справедливо неравенство