Физика/5. Геофизика

Ларченко И.Н., Закинян Р.Г.

Ставропольский государственный университет, Россия

Описание геострофического ветра во влажной атмосфере с учетом геоидальной формы Земли

Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости с учетом вращения Земли в геоидальной системе координат:

. (2.1.1)

Под геоидальной системой координат здесь мы понимаем декартовую систему координат, в которой ось направлена перпендикулярно поверхности Земли, имеющей форму геоида. Следовательно, оси и лежат в плоскости, касательной к поверхности геоида. Запишем уравнение (2.1.1) в проекциях на оси координат:

, (2.1.2)

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Здесь – угол между плоскостями касательными к сфере и геоиду. Угол находим из условия формирования геоида, т.е. из равенства проекций на горизонтальную плоскость центробежной силы инерции, обусловленной вращением Земли, и силы тяготения (рис. 2.1):

.

Осуществив преобразования, получим:

, ,

,

так как и , то

. (2.1.5)

На полюсах и на экваторе касательные плоскости сферической и геоидной модели параллельны, следовательно , а значит . На широте : .

Проекции угловой скорости вращения Земли с учетом геоидности

,

,

.

Используя условие формирования геоида, получим систему уравнений:

, (2.1.6)

, (2.1.7)

. (2.1.8)

В состоянии равновесия (статики):

, ,

. (2.1.9)

Здесь – плотность воздушной частицы; – плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. В стационарном состоянии невозмущенной атмосферы получим условия существования геострофического ветра:

, (2.1.10)

, (2.1.11)

. (2.1.12)

Из уравнения (2.1.11), получим выражение для скорости геострофического ветра вдоль оси :

. (2.1.13)

Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния влажного воздуха следует

, , (2.1.14)

где , – давление внутри и снаружи воздушной частицы; , – температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; – удельная газовая постоянная сухого воздуха; – удельная газовая постоянная водяного пара; – массовая доля водяного пара; – универсальная газовая постоянная; – молярная масса сухого воздуха; – молярная масса водяного пара.

Далее, учитывая численные значения удельных газовых постоянных сухого воздуха и водяного пара , а также, что

,

уравнения (2.1.14) запишем в виде

, . (2.1.15)

Сделаем следующее приближение: изменением давления в горизонтальной плоскости в уравнении состояния воздуха пренебрежем, т.е. допустим, что . Отсюда следует, что

. (2.1.16)

Или

.

Учитывая, что , запишем

. (2.1.17)

Другими словами, мы допускаем, что плотность зависит от температуры и массовой доли водяного пара и не зависит от давления. То есть мы добавляем к приближению Буссинеска зависимость плотности влажного воздуха от массовой доли водяного пара [21]. Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону:

, (2.1.18)

где – градиент температуры окружающего воздуха; – температура окружающего воздуха у земли. То есть влиянием водяного пара на изменение температуры с высотой пренебрежем. Будем также считать, что подъем влажной воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся влажной воздушной частицы будет изменяться по закону:

, (2.1.19)

где – температура поднимающейся воздушной частицы у земли; – сухоадиабатический градиент температуры. Представим

, (2.1.20)

– функция перегрева. Тогда формула (2.1.17) запишется в виде

. (2.1.21)

В условиях атмосферы можно воспользоваться следующим приближением:

, (2.1.22)

где , К; – функция пересыщения. Для атмосферы . С учетом формул (2.1.18) и (2.1.19) функция перегрева запишется в виде:

, (2.1.23)

где – значение функции перегрева у земли; .

Для адиабатически поднимающейся воздушной частицы массовая доля водяного пара остается постоянной

,

– массовая доля водяного пара у земли. Пусть в окружающей атмосфере массовая доля водяного пара убывает по линейному закону

, (2.1.24)

где – градиент массовой доли водяного пара в окружающей атмосфере. Тогда для функции пересыщения получим выражение

, (2.1.25)

где – пересыщение у земли.

С учетом формул (2.1.23) и (2.1.25) формула (2.1.22) для плотности воздушной частицы запишется в виде

.

Отсюда найдем уровень выравнивания плотностей воздуха в воздушной частице и окружающей атмосфере

. (2.1.26)

Из формулы (2.1.26) видно, уровень выравнивания плотностей воздуха для влажной частицы выше, чем уровень выравнивания температур поднимающегося сухого воздуха.

Тогда выражение (2.1.12) запишется в виде:

.

(2.1.27)

Если предположить, что в стационарном состоянии выполняется уравнение статики атмосферы в виде (2.1.9), то из выражения (2.1.27) следует равенство:

, (2.1.28)

из которого для скорости зонального переноса получим выражение:

,

или приближенно, в силу малости угла :

. (2.1.29)

Учтем, что

тогда

(2.1.30)

То есть имеет место широтный перенос воздуха. Оценим это значение скорости при следующих значениях параметров: , , , . Подставляя численные значения, для скорости зонального переноса получим значение . Если воздух сухой, то получаем , и, наоборот, если , а получаем . Отрицательный знак говорит о том, что движение воздуха направлено с востока на запад. Из формулы (2.1.30) следует, что величина скорости зонального переноса зависит от знака разности плотностей воздушной частицы и окружающей атмосферы, которая меняются с высотой. При , и – поток западный, то есть, направлен с запада на восток, при , и .

Эмпирически установлено, что скорость зонального потока прямо пропорциональна . В полученном нами выражении (2.1.29) зональная скорость также увеличивается с увеличением широты, определен коэффициент пропорциональности, зависящий от функций перегрева и пересыщения.

Приравнивая выражения (2.1.13) и (2.1.29), получим выражение для градиента давления по оси , вызванное наличием возмущений температуры и влажности:

,

т.е. изобарическая поверхность наклонена к плоскости геоида, и этот наклон определяется функциями перегрева и пересыщения воздуха.

Литература

1. Волочай М.А., Грицаева М.Н., Закинян Р.Г. Свободная конвекция влажного воздуха. //Материалы 55-й научно-методической конфренции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука – региону». Ставрополь: СГУ, 2010, С. 16 – 19.

2. Динамическая метеорология. Теоретическая метеорология. /Под ред. Д. Л. Лайхтмана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 607 с.

3. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. СПб: Гидрометеоиздат, 2000, 779 с.

4. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1984, 752 с.